Variations - Exercice 1

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Question 1

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=5x+3sin⁡(x)−1f\left(x\right)=5x+3\sin \left(x\right)-1.
Etudiez les variations de ff sur R\mathbb{R}.

Correction
On a :
f′(x)=5+3cos⁡(x)f'\left(x\right)=5+3\cos \left(x\right)

Or pour tout réel xx, on a :
−1≤cos⁡(x)≤1-1\le \cos \left(x\right)\le 1 équivaut successivement à
−3≤3cos⁡(x)≤3-3\le 3\cos \left(x\right)\le 3
2≤5+3cos⁡(x)≤82\le 5+3\cos \left(x\right)\le 8
Il en résulte que :
2≤f′(x)≤82\le f'\left(x\right)\le 8

Ainsi pour tout réel xx, on a f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge 0, donc la fonction ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

On traduit cela dans un tableau de variation, il vient alors :

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