Variations - Exercice 3

On a :
Or pour tout réel $$x$$, on a :
$$-2\le 2\sin \left(x\right)\le 2$$ équivaut successivement
$$-2+\sqrt{2} \le 2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} \le 2+\sqrt{2}$$
$$-2+\sqrt{2} \le f'\left(x\right)\le 2+\sqrt{2}$$
Il en résulte que $$f'$$ n'est pas de signe constant.
On ne peut donc pas conclure grâce à cet encadrement.

On va procéder en deux étapes.
Etape 1 : on commence par calculer $$f'\left(x\right)=0$$
$$f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow 2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} =0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)=-\frac{\sqrt{2} }{2}$$
Or : $$\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2} }{2}$$, ainsi $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)$$
$$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\pi -\left(-\frac{\pi }{4} \right)+2k\pi } \end{array}\right.$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$.
Ainsi : $$\sin \left(x\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-\frac{\pi }{4} +2k\pi } \\ {} & {{\text{ou}}} & {} \\ {x} & {=} & {\frac{5\pi }{4} +2k\pi } \end{array}\right.$$
Les solutions sur l'intervalle $$\left[0;2\pi \right]$$ sont $$S=\left\{\frac{5\pi }{4} ;\frac{7\pi }{4} \right\}$$
Etape 2 : on résout $$f'\left(x\right)\ge 0$$ puis on va utiliser le cercle trigonométrique.
$$2\sin \left(x\right)+\sqrt{2} \ge 0\Leftrightarrow \sin \left(x\right)\ge -\frac{\sqrt{2} }{2}$$ .
Le segment vert représente la zone où $$\sin \left(x\right)\ge -\frac{\sqrt{2} }{2}$$. Ainsi entre $$\left[0;\frac{5\pi }{4} \right]$$ et $$\left[\frac{7\pi }{4} ;2\pi \right]$$ on aura $$\sin \left(x\right)\ge -\frac{\sqrt{2} }{2}$$, c'est-à-dire $$\sin \left(x\right) -\frac{\sqrt{2} }{2} \ge 0$$. Nous traduisons cela dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f\left(0\right)=-2\cos \left(0\right)+\sqrt{2} \times 0$$
D'où :
$$f\left(\frac{5\pi }{4} \right)=-2\cos \left(\frac{5\pi }{4} \right)+\sqrt{2} \times \frac{5\pi }{4}$$
D'où :
$$f\left(\frac{7\pi }{4} \right)=-2\cos \left(\frac{7\pi }{4} \right)+\sqrt{2} \times \frac{7\pi }{4}$$
D'où :
$$f\left(2\pi \right)=-2\cos \left(2\pi \right)+\sqrt{2} \times 2\pi$$
D'où