Variations - Exercice 6

10 min
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Question 1

Soit la fonction ff définie sur [0;π2[\left[0 ;\frac{\pi}{2} \right[ par f(x)=tan⁡(x)f\left(x\right)=\tan \left(x\right).
Etudiez les variations de ff sur [0;π2[\left[0 ;\frac{\pi}{2} \right[.

Correction
  • (sin⁡(x))′=cos⁡(x)\left(\sin \left(x\right)\right)^{'} =\cos \left(x\right) et (cos⁡(x))′=−sin⁡(x)\left(\cos \left(x\right)\right)^{'} =-\sin \left(x\right)
  • (sin⁡(ax+b))′=acos⁡(ax+b)\left(\sin \left(ax+b\right)\right)^{'} =a\cos \left(ax+b\right) et (cos⁡(ax+b))′=−asin⁡(ax+b)\left(\cos \left(ax+b\right)\right)^{'} =-a\sin \left(ax+b\right)
    • ff est dérivable sur [0;π2[\left[0 ;\frac{\pi}{2} \right[.
    De plus :
    f(x)=tan⁡(x)⇔f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)f\left(x\right)=\tan \left(x\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)} .
    On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=sin⁡(x)u\left(x\right)=\sin \left(x\right) et v(x)=cos⁡(x)v\left(x\right)=\cos \left(x\right).
    Ainsi u′(x)=cos⁡(x)u'\left(x\right)=\cos \left(x\right) et v′(x)=−sin⁡(x)v'\left(x\right)=-\sin \left(x\right).
    Il vient alors que :
    f′(x)=cos⁡2(x)+sin⁡2(x)cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)}{\cos ^{2} \left(x\right)}

    cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
    Ainsi :
    f′(x)=1cos⁡2(x)f'\left(x\right)=\frac{1}{\cos ^{2} \left(x\right)}

    On vérifie aisément que pour tout réel x∈[0;π2[x\in \left[0 ;\frac{\pi}{2} \right[ , on a : 1>01>0 et cos⁡2(x)>0\cos ^{2} \left(x\right)>0. De ce fait f′(x)>0f'\left(x\right)>0.
    La fonction ff est donc strictement croissante sur [0;π2[\left[0 ;\frac{\pi}{2} \right[ .

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