Décomposer des vecteurs dans l'espace - Exercice 1

5 min
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Soit ABCDEFGHABCDEFGH un cube.
Question 1

Décomposer le vecteur CF→\overrightarrow{CF} dans la base (AD→,AE→)\left(\overrightarrow{AD} ,\overrightarrow{AE} \right)

Correction
Nous souhaitons décomposer le vecteur CF→\overrightarrow{CF} dans la base (AD→,AE→)\left({\color{blue}{\overrightarrow{AD}}} ,{\color{red}{\overrightarrow{AE}}} \right)
D'après la relation de Chasles, nous pouvons écrire que :
CF→=CB→+BF→\overrightarrow{CF} =\overrightarrow{CB} +\overrightarrow{BF}
Or CB→=DA→\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA} et BF→=AE→\overrightarrow{BF} =\overrightarrow{AE} . Ainsi :
CF→=DA→+AE→\overrightarrow{CF} =\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{AE}
Enfin :
CF→=−AD→+AE→\overrightarrow{CF} =-{\color{blue}{\overrightarrow{AD}}} +{\color{red}{\overrightarrow{AE}}}

Question 2

Décomposer le vecteur ED→\overrightarrow{ED} dans la base (CD→,CG→,CB→)\left(\overrightarrow{CD} ,\overrightarrow{CG},\overrightarrow{CB} \right)

Correction
Nous souhaitons décomposer le vecteur ED→\overrightarrow{ED} dans la base (CD→,CG→,CB→)\left({\color{blue}{\overrightarrow{CD}}} ,{\color{red}{\overrightarrow{CG}}} ,{\color{green}{\overrightarrow{CB}}} \right)
D'après la relation de Chasles, nous pouvons écrire que :
ED→=EA→+AD→\overrightarrow{ED} =\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{AD}
Or EA→=GC→\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{GC} et AD→=BC→\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{BC} . Ainsi :
ED→=GC→+BC→\overrightarrow{ED} =\overrightarrow{GC} +\overrightarrow{BC}
ED→=−CG→−CB→\overrightarrow{ED} =-\overrightarrow{CG} -\overrightarrow{CB}
Enfin :
ED→=−CG→−CB→\overrightarrow{ED} =-{\color{red}{\overrightarrow{CG}}} -{\color{green}{\overrightarrow{CB}}}
Question 3

Décomposer le vecteur AG→\overrightarrow{AG} dans la base (DC→,AD→,HD→)\left(\overrightarrow{DC} ,\overrightarrow{AD},\overrightarrow{HD} \right)

Correction
Nous souhaitons décomposer le vecteur AG→\overrightarrow{AG} dans la base (DC→,AD→,HD→)\left({\color{blue}{\overrightarrow{DC}}} ,{\color{red}{\overrightarrow{AD}}} ,{\color{green}{\overrightarrow{HD}}} \right)
D'après la relation de Chasles, nous pouvons écrire que :
AG→=AB→+BC→+CG→\overrightarrow{AG} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CG}
Or AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} et BC→=AD→\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AD} et CG→=−HD→\overrightarrow{CG} =-\overrightarrow{HD} . Ainsi :
AG→=DC→+AD→−HD→\overrightarrow{AG} =\overrightarrow{DC} +\overrightarrow{AD} -\overrightarrow{HD}
Enfin :
AG→=DC→+AD→−HD→\overrightarrow{AG} ={\color{blue}{\overrightarrow{DC}}} +{\color{red}{\overrightarrow{AD}}}-{\color{green}{\overrightarrow{HD}}}

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