Montrer que 4 points sont coplanaires - Exercice 3

Calculons maintenant les vecteurs : $$\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC}$$ et $$\overrightarrow{AD}$$.
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$$ , $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{AD} \left(\begin{array}{c} {7} \\ {1} \\ {2} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c} {7} \\ {1} \\ {2} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-3a} \\ {a} \\ {0} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {7b} \\ {b} \\ {2b} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} =a\overrightarrow{AC} +b\overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} {-3a} & {+} & {7b} & {=} & {2} \\ {a} & {+} & {b} & {=} & {1} \\ {} & {} & {2b} & {=} & {1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ccccc} {-3a} & {+} & {7b} & {=} & {2} \\ {a} & {+} & {b} & {=} & {1} \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{2}} \end{array}\right.$$
Comme $$b=\frac{1}{2}$$, on substitue $$b$$ dans les deux premières lignes et l'on doit obtenir les deux mêmes valeurs pour $$a$$ .
Cela donne :
$$\left\{\begin{array}{ccccc} {-3a} & {+} & {7\times \frac{1}{2} } & {=} & {2} \\ {a} & {+} & {\frac{1}{2} } & {=} & {1} \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccc} {-3a} & {} & {} & {=} & {2-\frac{7}{2} } \\ {a} & {} & {} & {=} & {1-\frac{1}{2} } \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccc} {-3a} & {} & {} & {=} & {-\frac{3}{2} } \\ {a} & {} & {} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {} & {} & {=} & {-\frac{3}{2} \div \left(-3\right)} \\ {a} & {} & {} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccc} {a} & {} & {} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {a} & {} & {} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {} & {} & {b} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$
Il en résulte que $$\overrightarrow{AB} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} +\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$.
Les points $$A,B,C$$ et $$D$$ sont donc coplanaires.