Vecteurs colinéaires : Rappels - Exercice 1

Soit $$k$$ un réel. La relation $$\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{v}$$ permet d'écrire le système suivant : $$\left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {2k} \\ {-3} & {=} & {2k} \\ {1} & {=} & {3k} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {k} & {=} & {-\frac{3}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{1}{3} } \end{array}\right.$$ .
Les trois valeurs de $$k$$ ne sont pas égales.
Dans ce cas, $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{v}$$ ne sont pas colinéaires.

Soit $$k$$ un réel. La relation $$\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{v}$$ permet d'écrire le système suivant : $$\left\{\begin{array}{ccc} {1} & {=} & {2k} \\ {2} & {=} & {4k} \\ {1} & {=} & {2k} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \\ {k} & {=} & {\frac{1}{2} } \end{array}\right.$$ .
Les trois valeurs de $$k$$ sont égales.
Dans ce cas, $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{v}$$ sont colinéaires.

Soit $$k$$ un réel. La relation $$\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{v}$$ permet d'écrire le système suivant : $$\left\{\begin{array}{ccc} {7} & {=} & {-\frac{21}{2} k} \\ {4} & {=} & {-6k} \\ {-8} & {=} & {12k} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {-\frac{2}{3} } \\ {k} & {=} & {-\frac{2}{3} } \\ {k} & {=} & {-\frac{2}{3} } \end{array}\right.$$ .
Les trois valeurs de $$k$$ sont égales.
Dans ce cas, $$\overrightarrow{u}$$ et $$\overrightarrow{v}$$ sont colinéaires.

Les vecteurs $$\overrightarrow{u} \left(4;x;10\right)$$ et $$\overrightarrow{v} \left(-8 ;12;y\right)$$ sont colinéaires s'ils sont proportionnels.
Autrement dit : $$\frac{4}{-8} =\frac{x}{12}$$ et $$\frac{4}{-8} =\frac{10}{y}$$
Il ne nous reste ensuite qu'à faire des produits en croix. Cela donne :

$$x=\frac{4\times 12}{-8} =-6$$

$$y=\frac{10\times \left(-8\right)}{4} =-20$$

Les vecteurs $$\overrightarrow{u} \left(4;x;10\right)$$ et $$\overrightarrow{v} \left(-8 ;12;y\right)$$ sont colinéaires si et seulement si $$x=-6$$ et $$y=-20$$ .