Les classiques... en devoir - Exercice 1

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On considère l'équation différentielle (E)\left(E\right) : 2y′=−8y+8x2−20x+422y'=-8y+8x^{2} -20x+42
Question 1

Vérifier que la fonction h(x)=x2−3x+6h\left(x\right)=x^{2} -3x+6 est une solution de l’équation (E)\left(E\right) .

Correction
Soit h(x)=x2−3x+6h\left(x\right)=x^{2} -3x+6 alors h′(x)=2x−3h'\left(x\right)=2x-3
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
2h′(x)=2×(2x−3)2h'\left(x\right)=2\times \left(2x-3\right)
2h′(x)=4x−62h'\left(x\right)=4x-6
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
−8h(x)+8x2−20x−36=−8×(x2−3x+6)+8x2−20x+42-8h\left(x\right)+8x^{2} -20x-36=-8\times \left(x^{2} -3x+6\right)+8x^{2} -20x+42
−8h(x)+8x2−20x−36=−8x2+24x−48+8x2−20x+42-8h\left(x\right)+8x^{2} -20x-36=-8x^{2} +24x-48+8x^{2} -20x+42
−8h(x)+8x2−20x−36=4x−6-8h\left(x\right)+8x^{2} -20x-36=4x-6
Nous venons de montrer que (E)\left(E\right) : 2h′(x)=−8h(x)+8x2−20x+422h'\left(x\right)=-8h\left(x\right)+8x^{2} -20x+42 .
Il en résulte donc que la fonction hh est bien une solution de (E)\left(E\right) .
Question 2

Montrer que ff est une solution de (E)\left(E\right) si et seulement si f−hf-h est une solution de 2y′=−8y2y'=-8y .

Correction
ff est une solution de (E)\left(E\right) si et seulement si 2f′=−8f+8x2−20x+422f'=-8f+8x^{2} -20x+42 c'est à dire que 2f′+8f=8x2−20x+422f'+8f=\red{8x^{2} -20x+42}
D'après la question 11, nous avons montré que 2h′=−8h+8x2−20x+422h'=-8h+8x^{2} -20x+42 que l'on peut aussi écrire : 2h′+8h=8x2−20x+422h'+8h=\red{8x^{2} -20x+42}
Comme 2f′+8f=8x2−20x+422f'+8f=8x^{2} -20x+42 et que 2h′+8h=8x2−20x+422h'+8h=8x^{2} -20x+42 alors nous pouvons écrire que :
2f′+8f=2h′+8h2f'+8f=2h'+8h
2f′+8f−2h′−8h=02f'+8f-2h'-8h=0
2(f′−h′)+8(f−h)=02\left(f'-h'\right)+8\left(f-h\right)=0
2(f−h)′+8(f−h)=02\left(f-h\right)'+8\left(f-h\right)=0
2(f−h)′=−8(f−h)2\left(f-h\right)'=-8\left(f-h\right)
Il en résulte donc bien que ff est une solution de (E)\left(E\right) si et seulement si f−hf-h est une solution de 2y′=−8y2y'=-8y .
Question 3

En déduire les solutions de (E)\left(E\right) .

Correction
Nous allons déterminer les solutions de 2y′=−8y2y'=-8y .
2y′=−8y2y'=-8y équivaut à :
y′=−4yy'=-4y
Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=−4a=-4 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−4xf\left(x\right)=ke^{-4x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−4xf\left(x\right)=ke^{-4x}
    où kk est une constante réelle.
    D'après la question précédente, ff est une solution de (E)\left(E\right) si et seulement si f−hf-h est une solution de 2y′=−8y2y'=-8y
    Comme f−hf-h est une solution de 2y′=−8y2y'=-8y .
    Il en résulte donc que :
    f(x)−h(x)=ke−4xf\left(x\right)-h\left(x\right)=ke^{-4x} où kk est une constante réelle.
    Ainsi :
    f(x)=h(x)+ke−4xf\left(x\right)=h\left(x\right)+ke^{-4x}
    f(x)=x2−3x+6+ke−4xf\left(x\right)=x^{2} -3x+6+ke^{-4x}
    Les solutions de (E)\left(E\right) sont les fonctions x↦x2−3x+6+ke−4xx \mapsto x^{2} -3x+6+ke^{-4x} où kk est une constante réelle.

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