Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Les équations différentielles - Enseignement de spécialité

Question 1

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-23y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-23

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-23x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-23x}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :8y'-19y=0$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

8y'-19y=0

équivaut successivement à :

8y'=19y

y'=\frac{19}{8}y

On identifie ici que :

a=\frac{19}{8}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{\frac{19}{8}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{\frac{19}{8}x}

où

k

est une constante réelle.

Question 3

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=21y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=21

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{21x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{21x}

où

k

est une constante réelle.

Question 4

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-30y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-30

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-30x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-30x}

où

k

est une constante réelle.

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ayy′=ay - Exercice 3

On considère l’équation différentielle (E):y′=−23y\left(E\right) :y'=-23y(E):y′=−23y où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):8y′−19y=0\left(E\right) :8y'-19y=0(E):8y′−19y=0 où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):y′=21y\left(E\right) :y'=21y(E):y′=21y où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

On considère l’équation différentielle (E):y′=−30y\left(E\right) :y'=-30y(E):y′=−30y où yyy est une fonction de la variable xxx, définie et dérivable sur R\mathbb{R}R et y′y'y′ la fonction dérivée de yyy.Résoudre (E)\left(E\right)(E) .

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Exercice 3

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-23y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :8y'-19y=0$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=21y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .

On considère l’équation différentielle $\left(E\right) :y'=-30y$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$ .
Résoudre $\left(E\right)$ .