Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay+b$ avec une condition - Les équations différentielles - Enseignement de spécialité

Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'-2y+10=0$ tel que $f\left(0\right)=2$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay+b

où

a

et

b

sont deux réels, avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}

où

k

est une constante réelle.

La fonction

f_0\left(x\right)=-\frac{b}{a}

est

\text{\red{appelée solution particulière constante}}

de l'équation différentielle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay+b

. Ainsi:

y'-2y+10=0

équivaut successivement à :

y'=2y-10

On identifie ici que :

a=2

et

b=-10

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{2x} -\frac{\left(-10\right)}{2}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{2x}+5

où

k

est une constante réelle
Or on sait que

f\left(0\right)=2

, il vient alors que :

f\left(0\right)=2

équivaut successivement à :

ke^{2\times 0}+5=2

ke^{0}+5=2

or

e^{0}=1

k+5=2

k=2-5

D'où :

k=-3

Il en résulte que la solution de l'équation différentielle

y'-2y+10=0

tel que

f\left(0\right)=2

est alors :

f\left(x\right)=-3e^{2x}+5

Question 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=2y+2$ tel que $f\left(2\right)=10$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay+b

où

a

et

b

sont deux réels, avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}

où

k

est une constante réelle.

La fonction

f_0\left(x\right)=-\frac{b}{a}

est

\text{\red{appelée solution particulière constante}}

de l'équation différentielle.

On identifie ici que :

a=2

et

b=2

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{2x} -\frac{2}{2}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{2x}-1

où

k

est une constante réelle
Or on sait que

f\left(2\right)=10

, il vient alors que :

f\left(2\right)=10

équivaut successivement à :

ke^{2\times 2}-1=10

ke^{4}=10+1

ke^{4}=11

k=\frac{11}{e^{4}}

$e^{-a} =\frac{1}{e^{a} }$

D'où :

k=11e^{-4}

Il en résulte que la solution de l'équation différentielle

y'=2y+2

tel que

f\left(2\right)=10

est alors :

f\left(x\right)=11e^{-4}\times e^{2x}-1

que l'on peut écrire :

$e^{a} e^{b} =e^{a+b}$

f\left(x\right)=11e^{2x-4}-1

Question 3

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=4y+8$ tel que $f\left(4\right)=-1$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay+b

où

a

et

b

sont deux réels, avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax} -\frac{b}{a}

où

k

est une constante réelle.

La fonction

f_0\left(x\right)=-\frac{b}{a}

est

\text{\red{appelée solution particulière constante}}

de l'équation différentielle.

On identifie ici que :

a=4

et

b=8

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{4x} -\frac{8}{4}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{4x}-2

où

k

est une constante réelle
Or on sait que

f\left(4\right)=-1

, il vient alors que :

f\left(4\right)=-1

équivaut successivement à :

ke^{4\times 4}-2=-1

ke^{16}=-1+2

ke^{16}=1

k=\frac{1}{e^{16}}

$e^{-a} =\frac{1}{e^{a} }$

D'où :

k=1e^{-16}

Il en résulte que la solution de l'équation différentielle

y'=2y+2

tel que

f\left(2\right)=10

est alors :

f\left(x\right)=1e^{-16}\times e^{4x}-2

que l'on peut écrire :

$e^{a} e^{b} =e^{a+b}$

f\left(x\right)=1e^{4x-16}-2

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+by'=ay+by′=ay+b avec une condition - Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′−2y+10=0y'-2y+10=0y′−2y+10=0 tel que f(0)=2f\left(0\right)=2f(0)=2

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=2y+2y'=2y+2y′=2y+2 tel que f(2)=10f\left(2\right)=10f(2)=10

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=4y+8y'=4y+8y′=4y+8 tel que f(4)=−1f\left(4\right)=-1f(4)=−1

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay+b$ avec une condition - Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'-2y+10=0$ tel que $f\left(0\right)=2$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=2y+2$ tel que $f\left(2\right)=10$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=4y+8$ tel que $f\left(4\right)=-1$