Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+b - Exercice 2
10 min
20
Question 1
Résoudre, sur R, l'équation différentielle suivante : 4y′+20y+8=0
Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+b où a et b sont deux réels, avec a=0 , et où y est une fonction de la variable x définie et dérivable sur R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−ab où k est une constante réelle.
La fonction f0(x)=−ab est appeleˊe solution particulieˋre constante de l'équation différentielle.
Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ay+b. Ainsi : 4y′+20y+8=0 équivaut successivement à : 4y′=−20y−8 y′=4−20y−48 y′=−5y−2 On identifie ici que : a=−5 et b=−2. Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−5x−(−5)(−2) où k est une constante réelle. Finalement :
f(x)=ke−5x−52
où k est une constante réelle.
Question 2
Résoudre, sur R, l'équation différentielle suivante : 2y′+18y−5=0
Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+b où a et b sont deux réels, avec a=0 , et où y est une fonction de la variable x définie et dérivable sur R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−ab où k est une constante réelle.
La fonction f0(x)=−ab est appeleˊe solution particulieˋre constante de l'équation différentielle.
Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ay+b. Ainsi : 2y′+18y−5=0 équivaut successivement à : 2y′=−18y+5 y′=2−18y+25 y′=−9y+25 On identifie ici que : a=−9 et b=25. Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−9x−(−9)(25) où k est une constante réelle. Finalement :
f(x)=ke−9x+185
où k est une constante réelle.
Question 3
Résoudre, sur R, l'équation différentielle suivante : 3y′−y+2=0
Correction
Soit l’équation différentielle y′=ay+b où a et b sont deux réels, avec a=0 , et où y est une fonction de la variable x définie et dérivable sur R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−ab où k est une constante réelle.
La fonction f0(x)=−ab est appeleˊe solution particulieˋre constante de l'équation différentielle.
Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ay+b. Ainsi : 3y′−y+2=0 équivaut successivement à : 3y′=y−2 y′=31y−32 On identifie ici que : a=31 et b=−32. Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke31x−(31)(−32) où k est une constante réelle. Finalement :
f(x)=ke31x+2
où k est une constante réelle.
Question 4
Résoudre, sur R, l'équation différentielle suivante : y′=53y−4
Correction
L'équation y′=53y−4 peut également s'écrire : y′=53y−54 .
Soit l’équation différentielle y′=ay+b où a et b sont deux réels, avec a=0 , et où y est une fonction de la variable x définie et dérivable sur R.
Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keax−ab où k est une constante réelle.
La fonction f0(x)=−ab est appeleˊe solution particulieˋre constante de l'équation différentielle.
On identifie ici que : a=53 et b=−54. Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke53−53(−54) où k est une constante réelle. Finalement :
f(x)=ke53x+34
où k est une constante réelle.
Signaler une erreur
Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.
Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.