Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $$y'=ay+f$$ - Exercice 2

Notons $$f_{0} \left(x\right)$$ $$\text{\red{la solution constante}}$$ de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ c'est que $$f_{0} \left(x\right)=M$$ où $$M \in \mathbb{R}$$ .
De plus, il est évident que $$f'_{0} \left(x\right)=0$$.
Comme $$f_{0}$$ est la solution la solution constante de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$, on peut donc écrire que :
$$f'_{0} \left(x\right)=20f_{0} \left(x\right)+40$$
$$0=20f_{0} \left(x\right)+40$$
$$20f_{0} \left(x\right)+40=0$$
$$20f_{0} \left(x\right)=-40$$
$$f_{0} \left(x\right)=\frac{-40}{20}$$
Ainsi :
Finalement, la solution particulière constante de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ est alors $$f_{0} \left(x\right)=-2$$ .

L'équation différentielle s'écrit : $$y'=\red{20}y+\purple{40}$$ . On identifie ici que : $$\red{a=20}$$ et $$\purple{f\left(x\right)=40}$$ .
D'après la question $$1$$, nous avons démontré que la fonction $$f_{0}$$ est $$\text{\red{une solution particulière}}$$ de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation différentielle $$\left(E\right)$$ sont alors : $$m\left(x\right)=ke^{\red{20}x}+f_{0}\left(x\right)$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement, les solutions de l'équation $$\left(E\right)$$ sont donc les fonctions définies sur $$\mathbb{R}$$ par où $$k$$ est une constante réelle.