Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+fy'=ay+f - Exercice 3

8 min
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Soit (E)\left(E\right) l'équation différentielle y′=−y+e−xy'=-y+e^{-x} .
Question 1

Montrer que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=(x+1)e−xg\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{-x} est une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

Correction
La fonction gg est une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) si et seulement si :
g′(x)=−g(x)+e−xg'\left(x\right)=-g\left(x\right)+e^{-x}
D’une part :\text{\blue{D'une part :}}
Soit g(x)=(x+1)e−xg\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{-x}.
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x+1u\left(x\right)=x+1 et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
    Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
    Il vient alors que :
    g′(x)=1×e−x+(x+1)×(−e−x)g'\left(x\right)=1\times e^{-x} +\left(x+1\right)\times \left(-e^{-x} \right)
    g′(x)=e−x+x×(−e−x)+1×(−e−x)g'\left(x\right)=e^{-x} +x\times \left(-e^{-x} \right)+1\times \left(-e^{-x} \right)
    g′(x)=e−x−xe−x−e−xg'\left(x\right)=e^{-x} -xe^{-x} -e^{-x}
    g′(x)=−xe−xg'\left(x\right)={\color{blue}{-xe^{-x}}}
    D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}}
    −g(x)+e−x=−(x+1)e−x+e−x-g\left(x\right)+e^{-x} =-\left(x+1\right)e^{-x} +e^{-x}
    −g(x)+e−x=−(x×e−x+1×e−x)+e−x-g\left(x\right)+e^{-x} =-\left(x\times e^{-x} +1\times e^{-x} \right)+e^{-x}
    −g(x)+e−x=−(xe−x+e−x)+e−x-g\left(x\right)+e^{-x} =-\left(xe^{-x} +e^{-x} \right)+e^{-x}
    −g(x)+e−x=−xe−x−e−x+e−x-g\left(x\right)+e^{-x} =-xe^{-x} -e^{-x} +e^{-x}
    −g(x)+e−x=−xe−x-g\left(x\right)+e^{-x} ={\color{blue}{-xe^{-x}}}
    Il en reˊsulte donc que :\text{\red{Il en résulte donc que :}} g′(x)=−g(x)+e−xg'\left(x\right)=-g\left(x\right)+e^{-x}
    Nous venons donc de montrer que la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=(x+1)e−xg\left(x\right)=\left(x+1\right)e^{-x} est bien une solution de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .
    Question 2

    En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E)\left(E\right) .

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ay+fy'=\red{a}y+\purple{f} où aa est un réel avec a≠0a\ne 0 et f\purple{f} une fonction définie sur un intervalle II .
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : m(x)=keax+z(x)m\left(x\right)=ke^{\red{a}x}+z\left(x\right) où
    la fonction x↦keaxx\mapsto ke^{\red{a}x} est solution de l'équation y′=ayy'=\red{a}y avec kk est une constante réelle
    et la fonction zz une solution particulière de l'équation y′=ay+fy'=ay+f .

    • L'équation différentielle s'écrit : y′=−1y+e−xy'=\red{-1}y+\purple{e^{-x}} . On identifie ici que : a=−1\red{a=-1} et f(x)=e−x\purple{f\left(x\right)=e^{-x}} .
    D'après la question 11, nous avons démontré que la fonction gg est une solution particulieˋre\text{\red{une solution particulière}} de l'équation différentielle (E)\left(E\right).
    Il en résulte que les solutions de l'équation différentielle (E)\left(E\right) sont alors : m(x)=ke−x+g(x)m\left(x\right)=ke^{\red{-}x}+g\left(x\right) où kk est une constante réelle.
    Finalement, les solutions de l'équation (E)\left(E\right) sont donc les fonctions définies sur R\mathbb{R} par
    m(x)=ke−x+(x+1)e−xm\left(x\right)=ke^{-x}+\left(x+1\right)e^{-x}
    où kk est une constante réelle.

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