Sujet Type bac : Mise à jour d'un sujet donné en 2007 - Exercice 1

$$f_0$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .
Comme $$f_0\left(x\right)\mathrm{=}a{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+b{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }$$ alors $$f^{'}_{0}\left(x\right)\mathrm{=}-a{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }+b{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }$$
$$f_0$$ est solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si :
$$f^{'}_{0}\left(x\right) -2f_0\left(x\right) =\cos \left(x\right)$$
$$-a{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }+b{\mathrm{cos} \left(x\right)\ } -2\left(a{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+b{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right) =\cos \left(x\right)$$
$$-a{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }+b\ cos\left(x\right)-2a{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }-2b{\mathrm{sin\ } \left(x\right)\ }={\mathrm{cos} \left(x\right)\ }\$$
$${\color{blue}{\left(b-2a\right)}}{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+{\color{red}{\left(-a-2b\right)}}{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }={\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+{\color{red}{0}}{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }$$
Par identifiant, on a :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}{\color{blue}{\left(b-2a\right)}} & = & {\color{blue}{1}} \\ {\color{red}{\left(-a-2b\right)}} & = & {\color{red}{0}} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & 1+2a \\ -a-2b & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & 1+2a \\ -a-2\left(1+2a\right) & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & 1+2a \\ -a-2-4a & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & 1+2a \\ -5a-2 & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & 1+2a \\ -5a & = & 2 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & 1+2a \\ a & = & \frac{2}{-5} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & 1+2\left(-\frac{2}{5}\right) \\ a & = & -\frac{2}{5} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & 1-\frac{4}{5} \\ a & = & -\frac{2}{5} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & \frac{5}{5}-\frac{4}{5} \\ a & = & -\frac{2}{5} \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}b & = & \frac{1}{5} \\ a & = & -\frac{2}{5} \end{array}\right.$$
Finalement : est solution de l'équation $$\left(E\right)$$.

On identifie ici que : $$a=-2$$ .
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-2x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : où $$k$$ est une constante réelle.

D'une part : une fonction $$h$$ est solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$h' -2h =\cos \left(x\right)$$ . Notons $$(1)$$ cette équation .
D'autre part : d'après la question $$1$$, nous avons déterminer $$f_0$$ qui est solution de l'équation $$\left(E\right)$$ ainsi $$f^{'}_{0} -2f_0 =\cos \left(x\right)$$ . Notons $$(2)$$ cette équation .
Par soustraction membre à membre des égalités $$(1)$$ et $$(2)$$, on obtient pour tout réel $$x$$ :
$$h' -2h -\left(f^{'}_{0} -2f_0\right)=\cos \left(x\right)-\cos \left(x\right)$$
$$h' -2h -\left(f^{'}_{0} -2f_0\right)=0$$
$$h' -2h -f^{'}_{0} +2f_0=0$$
$$h' -f^{'}_{0} -2h+2f_0=0$$
$$\left(h-f_0\right)' -2\left(h-f_0\right)=0$$
Il en résulte donc que $$h-f_0$$ est solution de l'équation $$\left(E_0\right) : y' -2y =0$$ .
Ainsi nous venons de montrer que $$h$$ est solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$h-f_0$$ est solution de $$\left(E_0\right)$$.

D'après la question $$2$$, nous avons montrer que où $$k$$ est une constante réelle est une solution de $$\left(E_0\right) : y' -2y =0$$
De plus, d'après la question $$3$$, nous avons également montrer que $$h$$ est solution de $$\left(E\right)$$ si et seulement si $$h-f_0$$ est solution de $$\left(E_0\right)$$
Autrement dit :
$$h\left(x\right)-f_0\left(x\right)=ke^{-2x}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Ce qui nous permet d'écrire :
$$h\left(x\right)=ke^{-2x}+f_0\left(x\right)$$
$$h\left(x\right)=ke^{-2x}-\frac{2}{5}{\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+\frac{1}{5}{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }$$
Les solutions de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme où $$k$$ est une constante réelle.