Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué - Limites de fonctions - Enseignement de spécialité

Question 1

$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }$

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+5} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

nous rencontrons une forme indéterminée de la forme

+\infty -\infty

Lorsque l'on rencontre une limite avec une forme $\sqrt{a} -\sqrt{b}$ , il faut penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué $\sqrt{a} +\sqrt{b}$ afin d'obtenir une forme $\sqrt{a} -\sqrt{b} =\frac{\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a} +\sqrt{b} }$ .

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} -\sqrt{x} \right)\left(\sqrt{x+5} +\sqrt{x} \right)}

. Apparaît ici l'identité remarquable

\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}

.

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{\left(\sqrt{x+5} \right)^{2} -\left(\sqrt{x} \right)^{2} }

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }= \lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5}

Or :

\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x+5} =+\infty

et

\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x} =+\infty

, ainsi :

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\sqrt{x+5} +\sqrt{x} }{5} =+\infty

Finalement :

\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{x+5} -\sqrt{x} }=+\infty

Question 2

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^2+2} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

nous rencontrons une forme indéterminée de la forme

+\infty -\infty

Lorsque l'on rencontre une limite avec une forme $\sqrt{a} -b$ , il faut penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué $\sqrt{a} +b$ afin d'obtenir une forme $\sqrt{a} -b =\frac{\left(\sqrt{a} -b \right)\left(\sqrt{a} +b \right)}{\sqrt{a} +b }$ .

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} +2} -x\right)\left(\sqrt{x^{2} +2} +x\right)}{\left(\sqrt{x^{2} +2} +x\right)}

. Apparaît ici l'identité remarquable

\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}

.

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{x^{2} +2} \right)^{2} -x^{2} }{\sqrt{x^{2} +2} +x}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{x^{2} +2-x^{2} }{\sqrt{x^{2} +2} +x}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x={\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2}{\sqrt{x^{2} +2} +x}

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \sqrt{x^{2} +2}+x } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

\text{\red{par quotient}}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \frac{2}{\sqrt{x^{2} +2} +x}=0

Finalement :

{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} \sqrt{x^{2} +2} -x=0

Question 3

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 3 } \sqrt{x+6} -3} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to 3 } x-3} & {=} & {0 } \end{array}\right\}

nous rencontrons une forme indéterminée de la forme

\frac{0}{0}

Lorsque l'on rencontre une limite avec une forme $\sqrt{a} -b$ , il faut penser à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué $\sqrt{a} +b$ afin d'obtenir une forme $\sqrt{a} -b =\frac{\left(\sqrt{a} -b \right)\left(\sqrt{a} +b \right)}{\sqrt{a} +b }$ .

{\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\left(\sqrt{x+6} -3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\left(\sqrt{x+6} \right)^{2} -3^{2} }{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{x+6-9}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\cancel{x-3}}{\left(\cancel{x-3}\right)\left(\sqrt{x+6} +3\right)}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{1}{\sqrt{x+6} +3}

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 3 } 1 } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to 3 } \sqrt{x+6}+3 } & {=} & {6 } \end{array}\right\}

\text{\red{par quotient}}

{\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{1}{\sqrt{x+6} +3}=\frac{1}{6}

Finalement :

{\mathop{\lim }\limits_{x\to 3}} \frac{\sqrt{x+6} -3}{x-3}=\frac{1}{6}