Limites avec la fonction exponentielle - Exercice 3

$$\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to \color{red}+\infty } -x^{2} +3={\color{blue}-\infty}$$.
On pose $$X=-x^{2} +3$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}-\infty}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}-\infty} } 2e^{X} ={\color{green}0}$$.
Par composition :

$$\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x+2}{2x^{2} -3}$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x+2}{2x^{2} -3} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{x+2}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{2x^{2} -3}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x+2}{2x^{2} -3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{x}{x} +\frac{2}{x} \right)}{x^{2} \left(\frac{2x^{2} }{x^{2} } -\frac{3}{x^{2} } \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x+2}{2x^{2} -3} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(1+\frac{2}{x} \right)}{x^{2} \left(2-\frac{3}{x^{2}} \right)}$$ . On simplifie maintenant le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x+2}{2x^{2} -3} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+\frac{2}{x} }{x\left(2-\frac{3}{x^{2}} \right)}$$
Ainsi : $$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } 1+\frac{2}{x} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(2-\frac{3}{x^{2}} \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient :}}$$
$$\purple{\text{Finalement :}}$$
On pose $$X=\frac{x+2}{2x^{2} -3}$$. Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}0}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}0}} e^{X} ={\color{green}1}$$.
Par composition :
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=1$$ au voisinage de $$+\infty$$.

$$\purple{\text{Ici, il s'agit d'une limite par composition.}}$$
On commence par calculer $$\lim\limits_{x\to {\color{red}+\infty} } \frac{2}{x^{2} +x+1} ={\color{blue}0}$$.
On pose $$X=\frac{2}{x^{2} +x+1}$$. . Lorsque $$x$$ tend vers $${\color{red}+\infty}$$ alors $$X$$ tend vers $${\color{blue}0}$$.
Ainsi : $$\lim\limits_{X\to {\color{blue}0}} e^{X} ={\color{green}1}$$.
Par composition :
Attention : on se rappelle qu'ici nous avons une asymptote horizontale d'équation $$y=1$$ au voisinage de $$+\infty$$.