Théorème de comparaison - Exercice 1

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \sin \left(x\right) \le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+x+2\le \sin \left(x\right) +x+2\le 1+x+2$$
$$x+1\le \sin \left(x\right) +x+2 \le x+3$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to -\infty } x+1=-\infty$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to -\infty } x+3=-\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de droite, ce qui donne : $$\sin \left(x\right) +x+2 \le x+3$$
Comme $$\lim\limits_{x\to -\infty } x+3=-\infty$$ et $$\sin \left(x\right) +x+2 \le x+3$$ alors d'après le théorème de comparaison

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \cos \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1-2x\le \cos \left(x\right)-2x\le 1-2x$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } -1-2x=-\infty$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } 1-2x=-\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de droite, ce qui donne : $$\cos \left(x\right)-2x \le 1-2x$$
Comme $$\lim\limits_{x\to +\infty } 1-2x=-\infty$$ et $$\cos \left(x\right)-2x \le 1-2x$$ alors d'après le théorème de comparaison

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \sin \left(x\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+x^{2}\le \sin \left(x\right)+x^{2} \le 1+x^{2}$$ , on va ensuite diviser par $$x+1$$ qui est strictement positif car nous sommes au voisinage de $$+\infty$$
$$\frac{-1+x^{2} }{x+1} \le \frac{\sin \left(x\right)+x^{2} }{x+1} \le \frac{1+x^{2} }{x+1}$$
$$\red{\text{Calculons d'une part :}}$$ $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x^{2} }{x+1}$$
Pour relever cette indétermination, nous factoriserons par $$x^{2}$$ au numérateur et par $$x$$ au dénominateur.
C'est-à-dire que l'on factorise le numérateur par son monôme de plus haut degré ici $$x^{2}$$ et on factorise le dénominateur par son monôme de plus haut degré ici $$x$$.
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x^{2} }{x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(\frac{-1+x^{2} }{x^{2} } \right)}{x\left(\frac{x+1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x^{2} }{x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(-\frac{1}{x^{2} } +\frac{x^{2} }{x^{2} } \right)}{x\left(\frac{x}{x} +\frac{1}{x} \right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x^{2} }{x+1} =\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{x^{2} \left(-\frac{1}{x^{2} } +1\right)}{x\left(1+\frac{1}{x} \right)}$$ . Nous allons simplifier le numérateur et le dénominateur par $$x$$ .
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x^{2} }{x+1} =\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{-1}{x^{2} } +1\right)}{1+\frac{1}{x} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x\left(\frac{-1}{x^{2} } +1\right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2+\frac{1}{x} } & {=} & {2} \end{array}\right\}$$ par quotient, $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{x\left(\frac{-1}{x^{2} } +1\right)}{1+\frac{1}{x} } =+\infty$$
Finalement : $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x^{2} }{x+1} =+\infty$$
Nous effectuons les mêmes étapes pour calculer $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+x^{2} }{x+1}$$, nous obtiendrons $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1+x^{2} }{x+1} =+\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de gauche, ce qui donne : $$\frac{-1+x^{2} }{x+1} \le \frac{\sin \left(x\right)+x^{2} }{x+1}$$
Comme $$\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{-1+x^{2} }{x+1} =+\infty$$ et $$\frac{\sin \left(x\right)+x^{2} }{x+1} \ge \frac{-1+x^{2} }{x+1}$$ alors d'après le théorème de comparaison

Pour tout réel $$x$$, on a :
$$-1\le \cos \left(x\right) \le 1$$ équivaut successivement à :
$$-x\le \cos \left(x\right)\times x \le x$$ . Ici, nous avons multiplié par $$x>0$$ car nous sommes au voisinage de $$+\infty$$ donc le sens de l'inégalite ne change pas.
$$x^{2} -x\le x^{2} +\cos \left(x\right)\times x \le x^{2} +x$$
Or : $$\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} -x =+\infty$$ et $$\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} +x =+\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de gauche, ce qui donne : $$x^{2} -x\le x^{2} +\cos \left(x\right)\times x$$
Comme :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2} -x =+\infty$$ et $$x^{2} +\cos \left(x\right)\times x \ge x^{2} -x$$ alors d'après le théorème de comparaison