Déterminer la représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans donnés - Exercice 1

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Question 1

Soient les plans P1:x+2y−z+1=0P_{1} :x+2y-z+1=0 et P2:x−y+2z−1=0P_{2} :x-y+2z-1=0 .
Déterminer si les deux plans sont sécants et si tel est le cas déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection.

Correction
    Soient n1→\overrightarrow{n_{1} } et n2→\overrightarrow{n_{2} } des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
  • si n1→\overrightarrow{n_{1} } et n2→\overrightarrow{n_{2} } sont colinéaires alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) sont parallèles.
  • si n1→\overrightarrow{n_{1} } et n2→\overrightarrow{n_{2} } ne sont pas colinéaires alors (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas parallèles. Cela signifie donc que les plans sont sécants.
Soient n1→(12−1)\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right) et n2→(1−12)\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {2} \end{array}\right) des vecteurs normaux respectifs des plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right).
On vérifie facilement que les deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires (non proportionnels), alors les plans (P1)\left(P_{1} \right) et (P2)\left(P_{2} \right) ne sont pas parallèles.
Cela signifie donc que les plans sont seˊcants.\text{\red{sécants.}}
Pour déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection. Il nous faut résoudre le système suivant :
{x+2y−z+1=0x−y+2z−1=0\left\{\begin{array}{ccc} {x+2y-z+1} & {=} & {0} \\ {x-y+2z-1} & {=} & {0} \end{array}\right.
Il s'agit d'un système de deux équations à 33 inconnues. Nous allons exprimer une des trois inconnues à l'aide d'un paramètre réel tt.
On exprime par exemple z=tz=t ( Mais nous aurions tout aussi pu écrire x=tx=t ou y=ty=t). C'est à vous de choisir.
Nous avons donc dit alors z=tz=t. Ce qui nous donne :
{x+2y−z+1=0x−y+2z−1=0z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x+2y-z+1} & {=} & {0} \\ {x-y+2z-1} & {=} & {0} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x+2y−t+1=0x−y+2t−1=0z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x+2y-t+1} & {=} & {0} \\ {x-y+2t-1} & {=} & {0} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x=−2y+t−1x−y+2t−1=0z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2y+t-1} \\ {x-y+2t-1} & {=} & {0} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x=−2y+t−1−2y+t−1−y+2t−1=0z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2y+t-1} \\ {-2y+t-1-y+2t-1} & {=} & {0} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x=−2y+t−1−3y+3t−2=0z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2y+t-1} \\ {-3y+3t-2} & {=} & {0} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x=−2y+t−1−3y=−3t+2z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2y+t-1} \\ {-3y} & {=} & {-3t+2} \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x=−2y+t−1y=−3t+2−3z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2y+t-1} \\ {y} & {=} & {\frac{-3t+2}{-3} } \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x=−2y+t−1y=t−23z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2y+t-1} \\ {y} & {=} & {t-\frac{2}{3} } \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x=−2(t−23)+t−1y=t−23z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2\left(t-\frac{2}{3} \right)+t-1} \\ {y} & {=} & {t-\frac{2}{3} } \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x=−2t+43+t−1y=t−23z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-2t+\frac{4}{3} +t-1} \\ {y} & {=} & {t-\frac{2}{3} } \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}
{x=−t+13y=t−23z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+\frac{1}{3} } \\ {y} & {=} & {t-\frac{2}{3} } \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}

Une représentation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans P1P_{1} et P2P_{2} est alors {x=−t+13y=t−23z=t\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {-t+\frac{1}{3} } \\ {y} & {=} & {t-\frac{2}{3} } \\ {z} & {=} & {t} \end{array}\right. où t∈t\in R\mathbb{R}

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