Déterminer la représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans donnés - Exercice 2

Soient $$\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \\ {4} \end{array}\right)$$ des vecteurs normaux respectifs des plans $$\left(P_{1} \right)$$ et $$\left(P_{2} \right)$$.
On vérifie facilement que les deux vecteurs normaux ne sont pas colinéaires (non proportionnels), alors les plans $$\left(P_{1} \right)$$ et $$\left(P_{2} \right)$$ ne sont pas parallèles.
Cela signifie donc que les plans sont $$\text{\red{sécants.}}$$
Pour déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection. Il nous faut résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2x+y+z-2} & {=} & {0} \\ {3x-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Il s'agit d'un système de deux équations à $$3$$ inconnues. Nous allons exprimer une des trois inconnues à l'aide d'un paramètre réel $$t$$.
On exprime par exemple $$x=t$$ ( Mais nous aurions tout aussi pu écrire $$y=t$$ ou $$z=t$$). C'est à vous de choisir.
Nous avons donc dit alors $$x=t$$. Ce qui nous donne :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {2x+y+z-2} & {=} & {0} \\ {3x-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {2t+y+z-2} & {=} & {0} \\ {3t-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {2t+y+z-2} & {=} & {0} \\ {3t-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {3t-2y+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {3t-2\left(-2t-z+2\right)+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {3t+4t+2z-4+4z-2} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {7t+6z-6} & {=} & {0} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {6z} & {=} & {-7t+6} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {z} & {=} & {\frac{-7t+6}{6} } \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t-z+2} \\ {z} & {=} & {-\frac{7}{6} t+1} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-2t+\frac{7}{6} t-1+2} \\ {z} & {=} & {-\frac{7}{6} t+1} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$

Une représentation paramétrique de la droite d'intersection des deux plans $$P_{1}$$ et $$P_{2}$$ est alors $$\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {=} & {t} \\ {y} & {=} & {-\frac{5}{6} t+1} \\ {z} & {=} & {-\frac{7}{6} t+1} \end{array}\right.$$ où $$t\in$$$$\mathbb{R}$$