Produit scalaire : mise en situation - Exercice 1

Nous appliquons la relation de Chasles :
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AH} =\left(\overrightarrow{E\red{A}} +\overrightarrow{\red{A}\purple{B}} +\overrightarrow{\purple{B}C} \right)\cdot \left(\overrightarrow{A\pink{E}} +\overrightarrow{\pink{E}H} \right)$$
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AH} =\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{AE} +\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{EH} +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EH} +\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AE} +\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{EH}$$
On vérifie facilement que :
Les droites $$\left(EA\right)$$ et $$\left(EH\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{EH}=0$$
Les droites $$\left(AB\right)$$ et $$\left(AE\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}=0$$
Les droites $$\left(AB\right)$$ et $$\left(EH\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{EH}=0$$
les droites $$\left(BC\right)$$ et $$\left(AE\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AE}=0$$
Il vient alors que :
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AH} =\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{AE} +0+0+0+0 +\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{EH}$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{EA}$$ et $$\overrightarrow{AE}$$ sont colinéaires et de sens opposés . Ainsi : $$\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{AE}=-EA\times AE$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{BC}$$ et $$\overrightarrow{EH}$$ sont colinéaires et de même sens. Ainsi : $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{EH}=BC \times EH$$
On peut maintenant écrire que :
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AH} =\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{AE} +0+0+0+0+\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{EH}$$
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AH} =-EA\times AE+0+0+0+0+BC\times EH$$
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AH} =-3\times 3+0+0+0+0+3\times 3$$
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AH} =-9+9$$
Finalement :

Nous appliquons la relation de Chasles :
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AF} =\left(\overrightarrow{E\red{A}} +\overrightarrow{\red{A}\purple{B}} +\overrightarrow{\purple{B}C} \right)\cdot \left(\overrightarrow{A\pink{B}} +\overrightarrow{\pink{B}F} \right)$$
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AF} =\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{BF} +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BF} +\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF}$$
On vérifie facilement que :
Les droites $$\left(EA\right)$$ et $$\left(AB\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{AB}=0$$
Les droites $$\left(AB\right)$$ et $$\left(BF\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BF}=0$$
Les droites $$\left(BC\right)$$ et $$\left(AB\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB}=0$$
les droites $$\left(BC\right)$$ et $$\left(BF\right)$$ sont orthogonales donc $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BF}=0$$
Il vient alors que :
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AF} =0 +\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{BF} +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} +0+0+0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{EA}$$ et $$\overrightarrow{BF}$$ sont colinéaires et de sens opposés . Ainsi : $$\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{BF}=-EA\times BF$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AB}$$ sont colinéaires et de même sens. Ainsi : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}=AB \times AB$$
On peut maintenant écrire que :
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AF} =0-EA\times BF+AB\times AB+0+0+0$$
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AF} =0-3\times 3+3\times 3+0+0+0$$
$$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AF} =-9+9$$
Finalement :

Nous avons montré que $$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AH} =0$$ et $$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{AF} =0$$
Cela signifie que la droite $$\left(EC\right)$$ est orthogonale à la droite $$\left(AH\right)$$ et que la droite $$\left(EC\right)$$ est également orthogonale à la droite $$\left(AF\right)$$ .
Or les droites $$\left(AF\right)$$ et $$\left(AH\right)$$ sont coplanaires car sécantes en $$A$$. Cela signifie donc que les vecteurs $$\overrightarrow{AH}$$ et $$\overrightarrow{AF}$$ sont non colinéaires et que les droites $$\left(AF\right)$$ et $$\left(AH\right)$$ appartiennent au plan $$\left(AFH\right)$$.
Finalement, la droite $$\left(EC\right)$$ est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan $$\left(AFH\right)$$ donc la droite $$\left(EC\right)$$ est orthogonale au plan $$\left(AFH\right)$$.