Propriétés de calculs du produit scalaire : symétrie, bilinéarité - Exercice 3

5 min
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Soient ∥u→∥\left\| \overrightarrow{u} \right\| et ∥v→∥\left\| \overrightarrow{v} \right\| tels que : ∥u→∥=54\left\| \overrightarrow{u} \right\| =\frac{5}{4} ; ∥v→∥=2\left\| \overrightarrow{v} \right\| =2 et u→⋅v→=35\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\frac{3}{5}
Question 1

Calculer (2u→+v→)⋅(4u→−3v→)\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)

Correction
(2u→+v→)⋅(4u→−3v→)=8u→⋅u→−6u→⋅v→+4v→⋅u→−3v→⋅v→\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} -6\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +4\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
  • Soient deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} . Le produit scalaire est symétrique alors :
    u→⋅v→=v→⋅u→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}
(2u→+v→)⋅(4u→−3v→)=8u→⋅u→−6u→⋅v→+4u→⋅v→−3v→⋅v→\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} -6\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
(2u→+v→)⋅(4u→−3v→)=8u→⋅u→−2u→⋅v→−3v→⋅v→\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} -2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
  • Soient un vecteur u→\overrightarrow{u} alors :
    u→⋅u→=∥u→∥2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2}
(2u→+v→)⋅(4u→−3v→)=8∥u→∥2−2u→⋅v→−3∥v→∥2\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} -2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -3\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2}
(2u→+v→)⋅(4u→−3v→)=8×(54)2−2×35−3×22\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\times \left(\frac{5}{4} \right)^{2} -2\times \frac{3}{5} -3\times 2^{2}
(2u→+v→)⋅(4u→−3v→)=8×2516−2×35−3×4\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\times \frac{25}{16} -2\times \frac{3}{5} -3\times 4
(2u→+v→)⋅(4u→−3v→)=252−65−12\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=\frac{25}{2} -\frac{6}{5} -12
Ainsi :
(2u→+v→)⋅(4u→−3v→)=−710\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=-\frac{7}{10}

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