Calculer lim⁡n→+∞a×qn{\color{blue}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}}} et lim⁡n→+∞a×qn+b{\color{red}{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } a\times q^{n}+b}} - Exercice 1

8 min
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Déterminer les limites des suites (un)\left(u_{n} \right) suivantes :
Question 1

un=0,6nu_{n} = 0,6^{n}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,6<1-1<0,6<1 alors lim⁡n→+∞0,6n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 0,6^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
Question 2

un=(5)nu_{n} = \left(\sqrt{5} \right)^{n}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 5>1\sqrt{5} >1 alors :lim⁡n→+∞(5)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\sqrt{5} \right)^{n} =+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
Question 3

un=17nu_{n} =\frac{1}{7^{n} }

Correction
Soit aa un réel non nul, alors : 1an=(1a)n\frac{1}{a^{n} } =\left(\frac{1}{a} \right)^{n}
Dans un premier temps nous pouvons écrire un=17nu_{n} =\frac{1}{7^{n} } sous la forme un=(17)nu_{n} =\left(\frac{1}{7} \right)^{n}
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<17<1-1<\frac{1}{7}<1 alors lim⁡n→+∞(17)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{7} \right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
Question 4

un=5n2nu_{n} =\frac{5^{n}}{2^{n} }

Correction
Soient bb un réel et aa un réel non nul, alors : bnan=(ba)n\frac{b^{n}}{a^{n} } =\left(\frac{b}{a} \right)^{n}
Dans un premier temps nous pouvons écrire un=5n2nu_{n} =\frac{5^{n}}{2^{n} } sous la forme un=(52)nu_{n} =\left(\frac{5}{2} \right)^{n}
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 52>1\frac{5}{2} >1 alors :lim⁡n→+∞(52)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{2} \right)^{n} =+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =+\infty
Question 5

un=(−2)×0,2nu_{n} =\left(-2\right)\times 0,2^{n}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,2<1-1<0,2<1 alors :
lim⁡n→+∞(0,2)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,2\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−2)×(0,2)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-2\right)\times \left(0,2\right)^{n} =0
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
Question 6

un=−6×(98)nu_{n} =-6\times \left(\frac{9}{8} \right)^{n}

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 98>1\frac{9}{8} >1 alors :
lim⁡n→+∞(98)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{9}{8}\right)^{n} =+\infty
lim⁡n→+∞−6×(98)n=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -6\times\left(\frac{9}{8}\right)^{n} =-\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-\infty

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