Epreuve d'enseignement de spécialité Nouvelle-Calédonie 28 août 2023 Jour 1 - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, nous avons : $$u_{n+1} = 5u_n −4n −3$$
Ainsi :
$$u_{{\color{blue}{0}}+1} = 5u_{\color{blue}{0}} −4\times {\color{blue}{0}} −3$$
$$u_{1} = 5\times 3 −4\times 0 −3$$
$$u_{1} = 15-3$$
D'où :

Pour tout entier naturel $$n$$, nous avons : $$u_{n+1} = 5u_n −4n −3$$
Ainsi :
$$u_{{\color{blue}{1}}+1} = 5u_{\color{blue}{1}} −4\times {\color{blue}{1}} −3$$
$$u_{2} = 5\times 12 −4\times 1 −3$$
$$u_{2} = 60-4-3$$
D'où :

D'après la calculatrice, on obtient les valeurs des termes de suite d'indice $$2$$ à $$9$$ . On peut conjecturer que la suite $$\left(u_n\right)$$ est croissante et sa limite tend vers $$+\infty$$ .

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} \ge n+1$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =3$$ ainsi $$u_{0} \ge 0+1$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
Soit $$k$$ un entier naturel.
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} \ge k+1$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge k+1+1$$ que l'on écrit $$u_{k+1} \ge k+2$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \ge k+1$$ , on multiplie de part et d'autre de l'inégalité par $$5$$
$$5 u_{k} \ge 5 \left(k+1\right)$$
$$5 u_{k} \ge 5k+5$$ , on rajoute $$−4k −3$$ (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$5 u_{k}−4k −3 \ge 5k+5−4k −3$$
$$u_{k+1} \ge k+2$$
Ainsi : $$u_{k+1} \ge k+2$$, il vient alors que la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$u_{n} \ge n+1$$

D'après la question précédente, nous avons montré que pour tout entier naturel $$n$$, nous avions : $$u_n\ge n+1$$ .
Comme $$\lim\limits_{n\to +\infty } n+1=+\infty$$ et $$u_{n} \ge n+1$$ alors d'après $$\text{\red{le théorème de comparaison }}$$

On considère la suite $$\left(v_n\right)$$ définie pour tout entier naturel $$n$$ par : $$v_n = u_n -n -1$$.
Il vient alors que :
$$v_{n+1}=u_{n+1}-\left(n+1\right)-1$$
$$v_{n+1}=u_{n+1}-n-1-1$$
$$v_{n+1}=u_{n+1}-n-2$$
$$v_{n+1}=5u_n-4n-3-n-2$$
$$v_{n+1}=5u_n-5n-5$$
$$v_{n+1}=5\left(\red{u_n-n-1}\right)$$
Ainsi :
Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=5$$ et de premier terme $$v_0 = u_0 -0 -1$$ c'est à dire $$v_{0} =3-0-1=2$$.

Ainsi :

On sait que $$v_n = u_n -n -1$$ donc $$v_{n} +n+1=u_{n}$$
Il vient alors que :

$$u_{n+1}-u_n=2\times 5^{n+1}+\left(n+1\right)+1-\left(2\times 5^n+n+1\right)$$
$$u_{n+1}-u_n=2\times 5^{n+1}+n+2-2\times 5^n-n-1$$
$$u_{n+1}-u_n=2\times 5^{n+1}+n+1-2\times 5^n$$
$$u_{n+1}-u_n=2\times 5^{n+1}-2\times 5^n+n+1$$
$$u_{n+1}-u_n=2\times 5^n\times 5^1-2\times 5^n+n+1$$
$$u_{n+1}-u_n=2\times \red{5^n}\times 5-2\times \red{5^n}+n+1$$
$$u_{n+1}-u_n=\red{5^n}\left(2\times 5-2\right)+n+1$$
$$u_{n+1}-u_n={8\times 5}^n+n+1$$
Pour tout entier naturel $$n$$, on a $$5^n>0$$ et $$n+1>0$$.
ll en résulte que $${8\times 5}^n+n+1>0$$ et de ce fait $$u_{n+1}-u_n>0$$ .
On peut en conclure que la suite $$\left(u_n\right)$$ est donc croissante.

La valeur renvoyée par cette fonction est $$n = 10$$. En effet, il s'agit du rang à partir duquel $$u_n \ge 10^7$$ .