Limites de suites en utilisant les opérations - Exercice 2

10 min
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Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=(4−2n)(3−4n)u_{n} =\left(4-\frac{2}{\sqrt{n} } \right)\left(3-\frac{4}{n} \right)

Correction
lim⁡n→+∞4−2n=4lim⁡n→+∞3−4n=3}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\dfrac{2}{\sqrt{n} }} & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-\dfrac{4}{n} } & {=} & {3} \end{array}\right\} par produit :\red{\text{par produit :}}
lim⁡n→+∞(4−2n)(3−4n)=12\lim\limits_{n\to +\infty } \left(4-\frac{2}{\sqrt{n} } \right)\left(3-\frac{4}{n} \right) =12

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=12
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 2

un=(4−n)(n+2n)u_{n} =\left(4-\sqrt{n} \right)\left(n+\frac{2}{n} \right)

Correction
lim⁡n→+∞4−n=−∞lim⁡n→+∞n+2n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\sqrt{n}} & {=} & {-\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+\dfrac{2}{n} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par produit :\red{\text{par produit :}}
lim⁡n→+∞(4−n)(n+2n)=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(4-\sqrt{n} \right)\left(n+\frac{2}{n} \right) =-\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=-\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 3

un=6n+nu_{n} =\frac{6}{n+\sqrt{n} }

Correction
lim⁡n→+∞6=6lim⁡n→+∞n+n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6} & {=} & {6 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+\sqrt{n} } & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
lim⁡n→+∞6n+n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6}{n+\sqrt{n} } =0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 4

un=53−n2u_{n} =\frac{5}{3-n^{2} }

Correction
lim⁡n→+∞5=5lim⁡n→+∞3−n2=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 5} & {=} & {5 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-n^{2} } & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
lim⁡n→+∞53−n2=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{5}{3-n^{2} } =0

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=0
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 5

un=10−6n5+3nu_{n} =\frac{10-\dfrac{6}{\sqrt{n} } }{5+\dfrac{3}{n} }

Correction
lim⁡n→+∞10−6n=10lim⁡n→+∞5+3n=5}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 10-\dfrac{6}{\sqrt{n} }} & {=} & {10 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 5+\dfrac{3}{n} } & {=} & {5} \end{array}\right\} par quotient :\red{\text{par quotient :}}
lim⁡n→+∞10−6n5+3n=105\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{10-\dfrac{6}{\sqrt{n} } }{5+\dfrac{3}{n} } =\frac{10}{5}

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=2\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=2
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 6

un=(75)n−4n2u_{n} =\left(\frac{7}{5} \right)^{n} -\frac{4}{n^{2} }

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 75>1\frac{7}{5} >1 alors :lim⁡n→+∞(75)n=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{5} \right)^{n} =+\infty
Ainsi :
lim⁡n→+∞(75)n=+∞lim⁡n→+∞−4n2=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{5} \right)^{n}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } -\dfrac{4}{n^{2} } } & {=} & {0} \end{array}\right\} par somme :\red{\text{par somme :}}
lim⁡n→+∞(75)n−4n2=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{7}{5} \right)^{n} -\frac{4}{n^{2} } =+\infty

Finalement :\purple{\text{Finalement :}} lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n}=+\infty
Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.

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