Pour bien démarrer les révisions aux DS - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n}\ge1520$$ .
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =3000$$ ainsi $$u_{0} \ge1520$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} \ge 1520$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge 1520$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \ge 1520$$ , on multiplie par $$0,95$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$0,95u_{k} \ge 1520\times0,95$$
$$0,95u_{k} \ge 1444$$
$$0,95u_{k} +76\ge 1444+76$$
$$0,95u_{k} +76\ge 1520$$
$$u_{k+1} \ge 1520$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :

Nous allons étudier le signe de $$u_{n+1}-u_{n}$$.
$$u_{n+1}-u_{n}=0,95u_{n} +76-u_{n}$$
$$u_{n+1}-u_{n}=-0,05u_{n} +76$$ . Or d'après la question $$1$$, nous savons que $$u_{n}\ge1520$$.
Il vient alors que :
$$u_{n}\ge1520$$ équivaut successivement à :
$$-0,05\times u_{n}\le-0,05\times1520$$ . Nous avons multiplié par $$-0,05$$ qui est négatif, donc nous changeons le sens de l'inégalité.
$$-0,05u_{n}\le-76$$
$$-0,05u_{n}+76\le0$$. Il en résulte donc que comme : $$u_{n+1}-u_{n}=-0,05u_{n} +76$$ alors .
La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est bien décroissante.

On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$1520$$ car : $$u_{n} \ge 1520$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$l$$.

$$v_{n}=u_{n}-1520$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -1520$$ . On remplace l'expression de $$u_{n+1}$$ par $$u_{n+1} =0,95u_{n} +76$$.
$$v_{n+1} =0,95u_{n} +76-1520$$
$$v_{n+1} =0,95u_{n} -1444$$.
Or $$v_{n} =u_{n} -1520$$
Donc $$v_{n} +1520=u_{n}$$
$$v_{n+1} =0,95\left(v_{n} +1520\right)-1444$$
$$v_{n+1} =0,95v_{n} +0,95\times 1520-1444$$
$$v_{n+1} =0,95v_{n} +1444-1444$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,95$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -1520=3000-1520$$ donc $$v_{0} =1480$$

Tout d'abord, nous allons exprimer $$v_{n}$$ en fonction de $$n$$ .
Ainsi :
On sait que $$v_{n} =u_{n} -1520$$ donc $$v_{n} +1520=u_{n}$$
Il vient alors que :

Comme $$-1<0,95<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,95\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 1480\times \left(0,95\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 1480\times \left(0,95\right)^{n} +1520=1520$$
Ainsi :