Exercices types : 1ère partie - Exercice 1

25 min
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Partie  A  :Etude  preˊliminaire‾\underline{\bf{Partie\;A\;:Etude\;préliminaire}}
On considère la fonction gg définie sur l’intervalle ]0;+∞[]0 ; +\infty[ par :
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quadg(x)=1−2ln⁡(x)g(x)=1-2\ln(x)
Question 1
On donne ci-dessous sa courbe représentative Cg\mathscr{C_g} dans un repère orthonormé (O,  i⃗,  j⃗  )(O,\;\vec{i},\;\vec{j}\;).
Cette courbe Cg\mathscr{C_g} coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse α.\alpha.

Déterminer la valeur exacte de α.\alpha.

Correction
On sait que la courbe Cg\mathscr{C_g} coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse α.\alpha. Cest à dire g(α)=0.g(\alpha)=0.
Il nous faut donc résoudre l'équation suivante :
1−2ln⁡(α)=01-2\ln(\alpha)=0
1−2ln⁡(α)=01-2\ln (\alpha)=0 équivaut successivement à :
−2ln⁡(α)=−1-2\ln (\alpha)=-1
ln⁡(α)=−1−2\ln (\alpha)=\frac{-1}{-2}
ln⁡(α)=12\ln (\alpha)=\frac{1}{2}
ln⁡(α)=ln⁡(e12)\ln (\alpha)=\ln \left(e^{\frac{1}{2}} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
α=e12=e\alpha=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}
Or e∈]0;+∞[\sqrt{e} \in \left]0;+\infty \right[, donc la valeur exacte de α\alpha est e\sqrt{e} .
Question 2

On admet que la fonction gg est strictement décroissante sur l’intervalle ]0;+∞[.]0 ; +\infty[.
Donner, en justifiant, le signe de g(x)g (x) sur l’intervalle ]0;+∞[]0 ; +\infty[

Correction
D'après le calcul de la question 11, nous savons que la fonction gg s'annule lorsque x=ex=\sqrt{e} .
La fonction, par hypothèse est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[.]0 ; +\infty[.
Il en résulte donc que :
  • Si x∈]0;e]x \in \left]0 ; \sqrt{e}\right] alors g(x)≥0g \left(x\right)\ge0 car la représentation graphique de la fonction gg est au-dessus de l'axe des abscisses et égale à zéro en x=ex=\sqrt{e}.
  • Si x∈[e;+∞[x \in \left[ \sqrt{e};+\infty\right[ alors g(x)≤0g \left(x\right)\le0 car la représentation graphique de la fonction gg est en dessous de l'axe des abscisses et égale à zéro en x=ex=\sqrt{e}.
    • Il en résulte donc :
    Question 3
    Partie  B  :Etude  d′une  fonction‾\underline{\bf{Partie\;B\;:Etude\;d'une\;fonction}}
    Soit ff la fonction définie sur l’intervalle ]0;+∞[]0 ; +\infty[ par f(x)=2ln⁡(x)+1x.f (x) =\frac{2\ln{(x)}+1}{x}.

    Déterminer la limite de ff en +∞+\infty (On  rappelle  que  lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0)\left(On\;rappelle\;que\;\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln(x)}{x}=0\right)
    On admettra que lim⁡x→0f(x)=−∞\mathop{\lim }\limits_{x\to 0 }f(x)=-\infty

    Correction
    f(x)=2ln⁡(x)+1x.f (x) =\frac{2\ln{(x)}+1}{x}.
    On peut écrire f(x)f(x) sous la forme : f(x)=2ln⁡(x)x+1xf(x)=\frac{2\ln(x)}{x}+\frac{1}{x}
  • lim⁡x→+∞ln⁡(x)x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x}=0

    • lim⁡x→+∞2ln⁡(x)x=0lim⁡x→+∞1x=0}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{2\ln{(x)}}{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}} & {=} & {0 } \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    lim⁡x→+∞2ln⁡(x)x+1x=0\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{2\ln(x)}{x}+\frac{1}{x}=0
    Question 4

    Calculer f′(x)f'(x) et montrer que f′(x)=g(x)x2.f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}.

    Correction
    f(x)=2ln⁡(x)+1x.f (x) =\frac{2\ln{(x)}+1}{x}.
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
  • Deˊriveˊe du quotient :\red{\text{Dérivée du quotient :}} (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    • Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=2ln⁡(x)+1u\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+1 et v(x)=xv\left(x\right)=x.
    Ainsi u′(x)=2xu'\left(x\right)=\frac{2}{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
    Il vient alors que :
    f′(x)=2x×x−(2ln⁡(x)+1)×1x2f'\left(x\right)=\frac{\frac{2}{x} \times x-(2\ln \left(x\right)+1)\times1}{x^{2} } équivaut successivement à :
    f′(x)=2−2ln⁡(x)−1x2f'\left(x\right)=\frac{2-2\ln \left(x\right)-1}{x^{2} }
    f′(x)=1−2ln⁡(x)x2f'\left(x\right)=\frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^{2} }

    Or g(x)=1−2ln⁡(x)g(x)=1-2\ln(x) On peut donc conclure :
    f′(x)=g(x)x2f'\left(x\right)=\frac{g(x)}{x^{2} }
    Question 5

    Étudier le signe de f′(x)f'(x) et en déduire le tableau de variations de la fonction f.f .

    Correction
    On rappelle que pour tout réel xx strictement positif, on a : f′(x)=g(x)x2f'\left(x\right)=\frac{g(x)}{x^{2} }
    D'après la partie AA question 22, nous avons déterminer le signe de la fonction gg.
    Il vient alors :

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