Les dérivées avec la fonction x↦ln⁡(u(x))x\mapsto \ln \left(u\left(x\right)\right) - Exercice 1

20 min
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On suppose que toutes les fonctions ci-dessous sont dérivables sur un intervalle II que l'on ne cherchera pas à déterminer.
Question 1

f(x)=ln⁡(2x−7)f\left(x\right)=\ln \left(2x-7\right)

Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=2x−7u\left(x\right)=2x-7 et u′(x)=2u'\left(x\right)=2
    Ainsi :
    f′(x)=22x−7f'\left(x\right)=\frac{2}{2x-7}

    Question 2

    f(x)=ln⁡(−5x+1)f\left(x\right)=\ln \left(-5x+1\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=−5x+1u\left(x\right)=-5x+1 et u′(x)=−5u'\left(x\right)=-5
    Ainsi :
    f′(x)=−5−5x+1f'\left(x\right)=\frac{-5}{-5x+1}
    Question 3

    f(x)=ln⁡(3x)f\left(x\right)=\ln \left(3x\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=3xu\left(x\right)=3x et u′(x)=3u'\left(x\right)=3
    Ainsi :
    f′(x)=33xf'(x)=\frac{3}{3x}
    f′(x)=1xf'\left(x\right)=\frac{1}{x}
    Question 4

    f(x)=ln⁡(x2+7)f\left(x\right)=\ln \left(x^{2}+7\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=x2+7u\left(x\right)=x^2+7 et u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x
    Ainsi :
    f′(x)=2xx2+7f'\left(x\right)=\frac{2x}{x^2+7}
    Question 5

    f(x)=ln⁡(−x+9)f\left(x\right)=\ln \left(-x+9\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=−x+9u\left(x\right)=-x+9 et u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1
    Ainsi :
    f′(x)=−1−x+9f'(x)=\frac{-1}{-x+9}
    f′(x)=−1−x+9f'\left(x\right)=-\frac{1}{-x+9}
    Question 6

    f(x)=ln⁡(9x−8)f\left(x\right)=\ln \left(9x-8\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=9x−8u\left(x\right)=9x-8 et u′(x)=9u'\left(x\right)=9
    Ainsi :
    f′(x)=99x−8f'\left(x\right)=\frac{9}{9x-8}
    Question 7

    f(x)=ln⁡(x+1)f\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=x+1u\left(x\right)=x+1 et u′(x)=1u'\left(x\right)=1
    Ainsi :
    f′(x)=1x+1f'\left(x\right)=\frac{1}{x+1}
    Question 8

    f(x)=2ln⁡(4x+6)f\left(x\right)=2\ln \left(4x+6\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On a : u(x)=4x+6u\left(x\right)=4x+6 et u′(x)=4u'\left(x\right)=4
    Ainsi :
    f′(x)=2×44x+6f'\left(x\right)=2\times \frac{4}{4x+6}
    f′(x)=84x+6f'\left(x\right)=\frac{8}{4x+6}

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