Résoudre les équations - Exercice 1

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Résoudre dans ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[ les équations suivantes :
Question 1

ln⁡x=6\ln x=6

Correction
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • ln⁡x=6\ln x=6 équivaut successivement à :
    ln⁡x=ln⁡(e6)\ln x=\ln \left(e^{6} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e6x=e^{6}
    Or e6∈]0;+∞[e^{6} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e6}S=\left\{e^{6} \right\}
    Question 2

    ln⁡x=4\ln x=4

    Correction
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • ln⁡x=4\ln x=4 équivaut successivement à :
    ln⁡x=ln⁡(e4)\ln x=\ln \left(e^{4} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e4x=e^{4}
    Or e4∈]0;+∞[e^{4} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e4}S=\left\{e^{4} \right\}
    Question 3

    ln⁡x=−1\ln x=-1

    Correction
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • ln⁡x=−1\ln x=-1 équivaut successivement à :
    ln⁡x=ln⁡(e−1)\ln x=\ln \left(e^{-1} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e−1x=e^{-1}
    Or e−1∈]0;+∞[e^{-1} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e−1}S=\left\{e^{-1} \right\}
    Question 4

    ln⁡x=7\ln x=7

    Correction
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • ln⁡x=7\ln x=7 équivaut successivement à :
    ln⁡x=ln⁡(e7)\ln x=\ln \left(e^{7} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e7x=e^{7}
    Or e7∈]0;+∞[e^{7} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e7}S=\left\{e^{7} \right\}
    Question 5

    2ln⁡x+4=02\ln x+4=0

    Correction
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • 2ln⁡x+4=02\ln x+4=0 équivaut successivement à :
    2ln⁡x=−42\ln x=-4
    ln⁡x=−42\ln x=\frac{-4}{2}
    ln⁡x=−2\ln x=-2
    ln⁡x=ln⁡(e−2)\ln x=\ln \left(e^{-2} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e−2x=e^{-2}
    Or e−2∈]0;+∞[e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e−2}S=\left\{e^{-2} \right\}
    Question 6

    6ln⁡x−18=06\ln x-18=0

    Correction
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • 6ln⁡x−18=06\ln x-18=0 équivaut successivement à :
    6ln⁡x=186\ln x=18
    ln⁡x=186\ln x=\frac{18}{6}
    ln⁡x=3\ln x=3
    ln⁡x=ln⁡(e3)\ln x=\ln \left(e^{3} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e3x=e^{3}
    Or e3∈]0;+∞[e^{3} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e3}S=\left\{e^{3} \right\}
    Question 7

    ln⁡x=1\ln x=1

    Correction
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • ln⁡x=1\ln x=1 équivaut successivement à :
    ln⁡x=ln⁡(e1)\ln x=\ln \left(e^{1} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e1x=e^{1}
    Or e1∈]0;+∞[e^{1} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e1}S=\left\{e^{1} \right\}

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