Résoudre les inéquations - Exercice 1

$$\ln \left(x\right)>1$$ équivaut successivement à
$$\ln \left(x\right)>\ln \left(e\right)$$
$$x>e$$
Le domaine de définition impose que $$x>0$$ et l'inéquation est vraie si $$x>e$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à droite de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(x\right)\le0$$ équivaut successivement à
$$\ln \left(x\right)\le\ln \left(e^0\right)$$
$$x\le{e^0}$$
$$x\le{1}$$
Le domaine de définition impose que $$x>0$$ et l'inéquation est vraie si $$x\le{1}$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(x\right)\le3$$ équivaut successivement à
$$\ln \left(x\right)\le\ln \left(e^3\right)$$
$$x\le{e^3}$$
Le domaine de définition impose que $$x>0$$ et l'inéquation est vraie si $$x\le{e^3}$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$\ln \left(x\right)\ge-2$$ équivaut successivement à
$$\ln \left(x\right)\ge\ln \left(e^{-2}\right)$$
$$x\ge{e^{-2}}$$
Le domaine de définition impose que $$x>0$$ et l'inéquation est vraie si $$x\ge{e^{-2}}$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à droite de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :

$$2\ln \left(x\right)+10< 0$$ équivaut successivement à
$$2\ln(x)<-10$$
$$\ln(x)<\frac{-10}{2}$$
$$\ln(x)<-5$$
$$\ln \left(x\right)<\ln \left(e^{-5}\right)$$
$$x<{e^{-5}}$$
Le domaine de définition impose que $$x>0$$ et l'inéquation est vraie si $$x<{e^{-5}}$$.
On fait l'intersection des deux intervalles.
On garde la zone où les deux ensembles sont coloriés simultanément.
Ici c'est la zone à gauche de la barre pointillée verticale.
Il en résulte que les solutions de l'inéquation sont sur l'intervalle :