Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 3

$$f$$ est un fonction polynôme elle est donc dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et donc en particulier sur l'intervalle $$\left[-10 ;10 \right]$$. Il vient alors que :

$$f'$$ est un fonction polynôme elle est donc dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et donc en particulier sur l'intervalle $$\left[-10 ;10 \right]$$. Il vient alors que :

Pour tout réel $$x$$ de l'intervalle $$\left[-10 ;10 \right]$$, on sait que l'on a : $$f''\left(x\right)=6x^{2}-6$$.
On peut soit factoriser la fonction , soit utiliser le discriminant.
C'est une équation du second degré, on calcule le discriminant et on détermine les racines.
Ainsi : $$\Delta = 144$$ , il existe donc deux racines réelles distinctes telles que : $$x_{1} = -1$$ et $$x_{2} = 1$$.
Comme $$a=6>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f''$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de signe de $$f''$$ ainsi que le tableau de variation de $$f'$$. On indiquera les valeurs des extrema.

On reprend le tableau de variation fait à la question $$3$$.
On fera apparaître le zéro que l'on recherche.
De plus :

• Sur $$\left[-1;10\right]$$ , la fonction $$f'$$ est continue et admet $$2$$ comme minimum.
  La fonction $$f'$$ est strictement positive.
  Donc l'équation $$f'(x)=0$$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
• Sur $$\left[-10;-1\right]$$ , la fonction $$f'$$ est continue et strictement croissante.
  De plus, $$f'(-10)=-1934$$ et $$f'(-1)=10$$ . Or $$0 \in \left[-1934;10\right]$$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$\alpha$$ dans $$\left[-10;-1\right]$$ tel que $$f'(x) = 0$$.
  

A la calculatrice, on vérifie que :
$$f'(-2,104)\approx-0,039$$ et $$f'(-2,103)\approx0,0639$$
Or $$0 \in \left[-0,039;0,0639\right]$$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :

Sur $$\left[-1;10\right]$$ , la fonction $$f'$$ est continue et admet $$2$$ comme minimum. La fonction $$f'$$ est strictement positive sur cet intervalle.
Sur $$\left[-10;-1\right]$$, la fonction $$f'$$ est continue et strictement croissante et $$f'(\alpha) = 0$$
Donc $$f'(x)\le0$$ pour tout $$x\in\left[-10;\alpha\right]$$ et $$f'(x)\ge0$$ pour tout $$x\in\left[\alpha;-1\right]$$
On résume cela dans un tableau de signe :

Comme nous connaissons, grâce à la question $$6$$, le tableau de signe de $$f'$$, nous avons aisément le tableau de variation de $$f$$, qui est donné ci-dessous :