Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur [0;1]\left[0;1\right] - Exercice 1

5 min
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Question 1
Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [0;1]\left[0;1\right]. Calculer les probabilités suivantes :

P(0,2≤X≤0,5)P\left(0,2\le X\le 0,5\right)

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[0;1]\left[0;1\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cP\left({\color{blue}{c}}\le X\le {\color{red}{d}}\right)={\color{red}{d}} -{\color{blue}{c}}
P(0,2≤X≤0,5)=0,5−0,2P\left({\color{blue}{0,2}}\le X\le {\color{red}{0,5}}\right)={\color{red}{0,5}}-{\color{blue}{0,2}}
Ainsi :
P(0,2≤X≤0,5)=0,3P\left(0,2\le X\le 0,5\right)=0,3
Question 2

P(0,43≤X≤0,78)P\left(0,43\le X\le 0,78\right)

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[0;1]\left[0;1\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cP\left({\color{blue}{c}}\le X\le {\color{red}{d}}\right)={\color{red}{d}} -{\color{blue}{c}}
P(0,43≤X≤0,78)=0,78−0,43P\left({\color{blue}{0,43}}\le X\le {\color{red}{0,78}}\right)={\color{red}{0,78}}-{\color{blue}{0,43}}
Ainsi :
P(0,43≤X≤0,78)=0,35P\left(0,43\le X\le 0,78\right)=0,35
Question 3

P(X≤0,27)P\left( X\le 0,27\right)

Correction
On a P(X≤0,27)=P(0≤X≤0,27)P\left( X\le 0,27\right)=P\left(0\le X\le 0,27\right) car ff définie une loi à densité sur l'intervalle [0;1]\left[0;1\right]
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[0;1]\left[0;1\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cP\left({\color{blue}{c}}\le X\le {\color{red}{d}}\right)={\color{red}{d}} -{\color{blue}{c}}
P(X≤0,27)=P(0≤X≤0,27)=0,27−0P\left( X\le 0,27\right)=P\left({\color{blue}{0}}\le X\le {\color{red}{0,27}}\right)={\color{red}{0,27}}-{\color{blue}{0}}
Ainsi :
P(X≤0,27)=0,27P\left( X\le 0,27\right)=0,27
Question 4

P(X≥0,91)P\left( X\ge 0,91\right)

Correction
On a P(X≥0,91)=P(0,91≤X≤1)P\left( X\ge 0,91\right)=P\left(0,91\le X\le 1\right) car ff définie une loi à densité sur l'intervalle [0;1]\left[0;1\right]
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[0;1]\left[0;1\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cP\left({\color{blue}{c}}\le X\le {\color{red}{d}}\right)={\color{red}{d}} -{\color{blue}{c}}
P(X≥0,91)=P(0,91≤X≤1)=1−0,91P\left( X\ge 0,91\right)=P\left({\color{blue}{0,91}}\le X\le {\color{red}{1}}\right)={\color{red}{1}}-{\color{blue}{0,91}}
Ainsi :
P(X≥0,91)=0,09P\left( X\ge 0,91\right)=0,09

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