Exercices types : La loi exponentielle - Exercice 2

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Question 1
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda. Une étude statistique a permis d’évaluer que P(X≥25)=0,368P\left(X\ge 25\right)=0,368.

Donner une valeur de λ\lambda à 10−210^{-2} près.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel :
P(X≥25)=e−25λP\left(X\ge 25\right)=e^{-25\lambda }
Il en résulte donc que :
e−25λ=0,368e^{-25\lambda } =0,368 (voir la vidéo sur les équations exponentielles si besoin)
e−25λ=0,368e^{-25\lambda } =0,368 équivaut successivement à
e−25λ=eln⁡(0,368)e^{-25\lambda } =e^{\ln \left(0,368\right)}
−25λ=ln⁡(0,368)-25\lambda =\ln \left(0,368\right)
λ=ln⁡(0,368)−25\lambda =\frac{\ln \left(0,368\right)}{-25}
Ainsi :
λ≈0,04\lambda \approx 0,04
à 10−210^{-2} près.

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