Exercices types : La loi exponentielle - Exercice 6

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Question 1
On estime que la durée de vie d'un ordinateur suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda et on note XX la variable aléatoire qui à un ordinateur choisi au hasard associe sa durée de vie en années.
On a pu mesurer qu’au bout de 55 ans, la moitié des ordinateurs sont défectueux.

Déterminer la valeur de λ\lambda arrondie à 10−310^{-3} près.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après l'énoncé, nous savons que P(X≥5)=12P\left(X\ge 5\right)=\frac{1}{2}. Ainsi :
P(X≥5)=e−5λP\left(X\ge 5\right)=e^{-5\lambda } et comme P(X≥5)=12P\left(X\ge 5\right)=\frac{1}{2}
Il en résulte donc que :
e−5λ=0,5e^{-5\lambda } =0,5 (voir la vidéo sur les équations exponentielles si besoin)
e−5λ=eln⁡(0,5)e^{-5\lambda } =e^{\ln \left(0,5\right)}
−5λ=ln⁡(0,5)-5\lambda =\ln \left(0,5\right)
λ=ln⁡(0,5)−5\lambda =\frac{\ln \left(0,5\right)}{-5}
Ainsi :
λ≈0,139\lambda \approx 0,139
à 10−310^{-3} près.
Question 2

En déduire la durée de vie moyenne de ces ordinateurs.

Correction

Si XX suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda alors son espérance mathématique vaut : E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda} .
Ainsi : E(X)=10,139E\left(X\right)=\frac{1}{0,139 } , il vient alors que :
E(X)≈7,2E\left(X\right)\approx7,2 années

La durée de vie moyenne de ces ordinateurs est environ de 7,27,2 années

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