Exercices types : Loi de densité - Exercice 1

$$\ln \left(x\right)\ge0\Leftrightarrow e^{\ln \left(x\right)} \ge e^{0} \Leftrightarrow x\ge1$$
Traduisons ci-dessous le tableau de signe de la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$.

$$F$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv-w\right)'=u'v+uv'-w'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ ; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=x$$
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ ; $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$w'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que
$$F'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x} -1$$

$$\int _{1}^{a}\ln \left(x\right)dx=1$$ équivaut successivement à :
$$\left[x\ln \left(x\right)-x\right]_{1}^{a} =1$$
$$a\ln \left(a\right)-a-\left(1\times \ln \left(1\right)-1\right)=1$$
$$a\ln \left(a\right)-a-\left(-1\right)=1$$
$$a\ln \left(a\right)-a+1=1$$
$$a\ln \left(a\right)-a=0$$
$$a\left(\ln \left(a\right)-1\right)=0$$
Il s'agit d'une équation produit nul : $$a=0$$ ou $$\ln \left(a\right)-1=0$$
On rejette la solution $$a=0$$ car $$a>1$$. Il ne nous reste plus qu'à résoudre $$\ln \left(a\right)-1=0$$
$$\ln \left(a\right)-1=0$$ équivaut successivement à :
$$\ln \left(a\right)=1$$
$$\ln \left(a\right)=\ln \left(e\right)$$

Le réel $$a>1$$ tel que : $$\int _{1}^{a}\ln \left(x\right)dx=1$$ est le réel $$a=e$$.

Nous savons, ici, que $$a=e$$.

• D'après la question $$1$$, $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ est positive sur l'intervalle $$\left[1;a\right]$$.
• De plus, $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ est continue, par définition sur $$\left]0;+\infty\right[$$ et donc est continue en particulier sur $$\left[1;a\right]$$
• D'après la question $$3$$, on a vu que $$\int _{0}^{a}\ln \left(x\right)dx=1$$

Il en résulte donc que la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ est une densité de probabilité sur l’intervalle $$\left[1;a\right]$$ avec $$a=e$$.

$$G$$ est dérivable sur $$\left]0;+\infty \right[$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv-w\right)'=u'v+uv'-w'$$ avec $$u\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{2}$$ ; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=\frac{1}{4} x^{2}$$
Ainsi $$u'\left(x\right)=x$$ ; $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$w'\left(x\right)=\frac{1}{2} x$$.
Il vient alors que
$$G'\left(x\right)=x\ln \left(x\right)+\frac{1}{2} x^{2} \times \frac{1}{x} -\frac{1}{2} x$$
$$G'\left(x\right)=x\ln \left(x\right)+\frac{1}{2} x-\frac{1}{2} x$$

Ainsi :
$$E\left(X\right)=\int _{1}^{e}xf\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à
$$E\left(X\right)=\int _{1}^{e}x\times \ln\left(x\right)dx$$
D'après la question $$5$$, on sait que $$x\mapsto\frac{1}{2} x^{2} \ln \left(x\right)-\frac{1}{4} x^{2}$$ est une primitive de $$x\mapsto x\ln \left(x\right)$$
Finalement :
$$E\left(X\right)=\int _{1}^{e}x\times \ln\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à :
$$E\left(X\right)=\left[\frac{1}{2} x^{2} \ln \left(x\right)-\frac{1}{4} x^{2} \right]_{1}^{e}$$
$$E\left(X\right)=\left(\frac{1}{2} e^{2} \ln \left(e\right)-\frac{1}{4} e^{2} \right)-\left(\frac{1}{2}\times1^{2}\times \ln \left(1\right)-\frac{1}{4} \times1^{2} \right)$$
$$E\left(X\right)=\left(\frac{1}{2} e^{2}-\frac{1}{4} e^{2} \right)-\left(-\frac{1}{4}\right)$$