Loi exponentielle - Exercice 3

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On considère une variable aléatoire XX suivant une loi exponentielle de paramètre λ\lambda où λ>0\lambda >0
Question 1

Déterminer la valeur de λ\lambda pour que la probabilité P(X≥3)=0,7P\left(X\ge 3\right)=0,7. On donnera une valeur approchée de λ\lambda à 10−310^{-3} près.

Correction
On sait que :
P(X≥3)=1−P(X≤3)P\left(X\ge 3\right)=1-P\left(X\le 3\right) équivaut successivement à
P(X≥3)=1−∫03λe−λxdxP\left(X\ge 3\right)=1-\int _{0}^{3}\lambda e^{-\lambda x} dx
P(X≥3)=1−[−e−λx]03P\left(X\ge 3\right)=1-\left[-e^{-\lambda x} \right]_{0}^{3}
P(X≥3)=e−3λP\left(X\ge 3\right)=e^{-3\lambda }
Il en résulte donc que :
e−3λ=0,7e^{-3\lambda } =0,7 (voir la vidéo sur les équations exponentielles si besoin)
e−3λ=0,7e^{-3\lambda } =0,7 équivaut successivement à
e−3λ=eln⁡(0,7)e^{-3\lambda } =e^{\ln \left(0,7\right)}
−3λ=ln⁡(0,7)-3\lambda =\ln \left(0,7\right)
λ=ln⁡(0,7)−3\lambda =\frac{\ln \left(0,7\right)}{-3}
Ainsi :
λ≈0,12\lambda \approx 0,12
à 10−210^{-2} près.

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