Loi exponentielle - Exercice 4

5 min

La durée en vie

X

, en heure, des piles d'une calculatrice suit une loi exponentielle telle que

P\left(X\le 30\right)=0,1

Question 1

Déterminer le nombre d'heures $c$ telle que $P\left(X\le c\right)=\frac{1}{2}$ . On arrondira à l'entier inférieur.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur

\left[0;+\infty \right[

est

f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}

où

\lambda

est un réel positif.

$P\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}$
$P\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}$
$P\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}$

P\left(X\le c\right)=P\left(0\le X\le c\right)=\int _{0}^{c}0,03e^{-0,03x} dx=\left[-e^{-0,03x} \right] _{0}^{c} =1-e^{-0,03c}

P\left(X\le c\right)=\int _{0}^{c}0,03e^{-0,03x} dx

P\left(X\le c\right)=\left[-e^{-0,03x} \right]_{0}^{c}

P\left(X\le c\right)=1-e^{-0,03c}

On résout alors :

1-e^{-0,03c} =\frac{1}{2}

1-e^{-0,03c} =\frac{1}{2}

équivaut successivement à

e^{-0,03c} =\frac{1}{2}

e^{-0,03c} =e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}

-0,03c=\ln \left(\frac{1}{2} \right)

Finalement :

c=\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{-0,03} \approx 23,10

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