Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $$y'=ay+b$$ avec une condition - Exercice 1

On identifie ici que : $$a=5$$ et $$b=-20$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{5x} -\frac{\left(-20\right)}{5}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{5x}+4$$ où $$k$$ est une constante réelle
Or on sait que $$f\left(0\right)=1$$ , il vient alors que :
$$f\left(0\right)=1$$ équivaut successivement à :
$$ke^{5\times 0}+4=1$$
$$ke^{0}+4=1$$ or $$e^{0}=1$$
$$k+4=1$$
$$k=1-4$$
D'où : $$k=-3$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=5y-20$$ tel que $$f\left(0\right)=1$$ est alors :

On identifie ici que : $$a=4$$ et $$b=12$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{4x} -\frac{12}{4}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{4x}-3$$ où $$k$$ est une constante réelle
Or on sait que $$f\left(2\right)=-2$$ , il vient alors que :
$$f\left(2\right)=-2$$ équivaut successivement à :
$$ke^{4\times 2}-3=-2$$
$$ke^{8}=-2+3$$
$$ke^{8}=1$$
$$k=\frac{1}{e^{8}}$$
D'où : $$k=e^{-8}$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=4y+12$$ tel que $$f\left(2\right)=-2$$ est alors :
$$f\left(x\right)=e^{-8}\times e^{4x}-3$$ que l'on peut écrire :

On identifie ici que : $$a=-2$$ et $$b=14$$.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : $$f\left(x\right)=ke^{-2x} -\frac{14}{\left(-2\right)}$$ où $$k$$ est une constante réelle.
Finalement : $$f\left(x\right)=ke^{-2x}+7$$ où $$k$$ est une constante réelle
Or on sait que $$f\left(1\right)=10$$ , il vient alors que :
$$f\left(1\right)=10$$ équivaut successivement à :
$$ke^{-2\times 1}+7=10$$
$$ke^{-2}=10-7$$
$$ke^{-2}=3$$
$$k=\frac{3}{e^{-2}}$$
D'où : $$k=3e^{2}$$
Il en résulte que la solution de l'équation différentielle $$y'=-2y+14$$ tel que $$f\left(1\right)=10$$ est alors :
$$f\left(x\right)=3e^{2}\times e^{-2x}+7$$ que l'on peut écrire :