Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n\ge2$$ , posons la propriété $$P_{n} : A^{n} =\left(2^{n} -1\right)A+\left(2-2^{n} \right)I_{3}$$
$$\red{\text{Etape d'initialisation :}}$$
Il va falloir calculer $$A^{2}$$
$$\purple{\text{D'une part :}}$$ Calculons $$A^{2}$$
$$A^{2} =A\times A=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2} \end{array}\right)}}$$
$$A^{2} =A\times A=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {0\times 0+1\times \left(-1\right)+\left(-1\right)\times 1} & {0\times 1+1\times 2+\left(-1\right)\times \left(-1\right)} & {0\times \left(-1\right)+1\times \left(-1\right)+\left(-1\right)\times 2} \\ {\left(-1\right)\times 0+2\times \left(-1\right)+\left(-1\right)\times 1} & {\left(-1\right)\times 1+2\times 2+\left(-1\right)\times \left(-1\right)} & {\left(-1\right)\times \left(-1\right)+2\times \left(-1\right)+\left(-1\right)\times 2} \\ {1\times 0+\left(-1\right)\times \left(-1\right)+2\times 1} & {1\times 1+\left(-1\right)\times 2+2\times \left(-1\right)} & {1\times \left(-1\right)+\left(-1\right)\times \left(-1\right)+2\times 2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2} \end{array}\right)}}$$
$$A^{2} =A\times A=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {3} & {-3} \\ {-3} & {4} & {-3} \\ {3} & {-3} & {4} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2} \end{array}\right)}}$$
$$\purple{\text{D'autre part :}}$$ Calculons $$\left(2^{2} -1\right)A+\left(2-2^{2} \right)I_{3}$$
$$\left(2^{2} -1\right)A+\left(2-2^{2} \right)I_{3} =3A-2I_{3}$$
$$\left(2^{2} -1\right)A+\left(2-2^{2} \right)I_{3} =3\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2} \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$$
$$\left(2^{2} -1\right)A+\left(2-2^{2} \right)I_{3} =\left(\begin{array}{ccc} {0} & {3} & {-3} \\ {-3} & {6} & {-3} \\ {3} & {-3} & {6} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {2} \end{array}\right)$$
$$\left(2^{2} -1\right)A+\left(2-2^{2} \right)I_{3} =\left(\begin{array}{ccc} {0-2} & {3} & {-3} \\ {-3} & {6-2} & {-3} \\ {3} & {-3} & {6-2} \end{array}\right)$$
$$\left(2^{2} -1\right)A+\left(2-2^{2} \right)I_{3} =\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {3} & {-3} \\ {-3} & {4} & {-3} \\ {3} & {-3} & {4} \end{array}\right)$$
$$\left(2^{2} -1\right)A+\left(2-2^{2} \right)I_{3} =A^{2}$$
La propriété $$P_{2}$$ est vraie.
$$\red{\text{Etape d'hérédité :}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k\ge2$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$A^{k} =\left(2^{k} -1\right)A+\left(2-2^{k} \right)I_{3}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$A^{k+1} =\left(2^{k+1} -1\right)A+\left(2-2^{k+1} \right)I_{3}$$
Ainsi :
$$A^{k+1} =A^{k} \times A$$
$$A^{k+1} =\left(\left(2^{k} -1\right)A+\left(2-2^{k} \right)I_{3} \right)\times A$$
$$A^{k+1} =\left(2^{k} -1\right)A\times A+\left(2-2^{k} \right)I_{3} \times A$$
$$A^{k+1} =\left(2^{k} -1\right)\red{A^{2}} +\left(2-2^{k} \right)A$$ . $$\;\;\;\;$$ Or d'après l'étape initialisation on a :$$\red{A^{2} =3A-2I_{3}}$$
$$A^{k+1} =\left(2^{k} -1\right)\left(3A-2I_{3} \right)+\left(2-2^{k} \right)A$$
$$A^{k+1} =2^{k} \times 3A+2^{k} \times \left(-2I_{3} \right)-3A+2I_{3} +2A-2^{k} A$$
$$A^{k+1} =2^{k} \times 3A-2^{k} \times 2\times I_{3} -3A+2I_{3} +2A-2^{k} A$$
$$A^{k+1} =2^{k} \times 3A-2^{k+1} \times I_{3} -A+2I_{3} -2^{k} A$$
$$A^{k+1} =2^{k} \times 2A-2^{k+1} \times I_{3} -A+2I_{3}$$
$$A^{k+1} =2^{k+1} \times A-2^{k+1} \times I_{3} -A+2I_{3}$$
$$A^{k+1} =2^{k+1} \times \blue{A}-\blue{A}+2\purple{I_{3}} -2^{k+1} \times \purple{I_{3}}$$
$$A^{k+1} =\left(2^{k+1} -1\right)\blue{A}+\left(2-2^{k+1} \right)\purple{I_{3}}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$
Puisque la propriété $$P_{2}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier $$n\ge2$$ , on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n\ge2$$ , on a bien :