Savoir si une matrice carrée d'ordre 2 est inversible et donner sa matrice inverse - Exercice 1

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Question 1
Soit A=(2315)A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {3} \\ {1} & {5} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22 .

La matrice AA est-elle inversible? Si oui donner alors la matrice inverse A−1A^{-1} .

Correction
  • Soit A=(abcd)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22. On appelle deˊterminant\red{\text{déterminant}} de AA le nombre det⁡(A)=a×d−b×c\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c} .
  • Une matrice est inversible\red{\text{inversible}} si et seulement si det⁡(A)≠0\det \left(A\right)\ne 0 et la matrice inverse de AA est égale à A−1=1det⁡(A)(d−b−ca)A^{-1} =\frac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)
Soit A=(2315)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\blue{3}} \\ {\pink{1}} & {\green{5}} \end{array}\right)
On a :
det⁡(A)=2×5−3×1\det \left(A\right)=\red{2}\times \green{5}-\blue{3}\times \pink{1}
det⁡(A)=10−3\det \left(A\right)=10-3
Finalement :
det⁡(A)=7\det \left(A\right)=7

Comme det⁡(A)≠0\det \left(A\right)\ne 0 alors la matrice AA est inversible\red{\text{inversible}}.
La matrice inverse de AA notée A−1A^{-1} est alors égale à :
A−1=1det⁡(A)(d−b−ca)A^{-1} =\frac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)
A−1=17(5−3−12)A^{-1} =\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc} {\green{5}} & {-\blue{3}} \\ {-\pink{1}} & {\red{2}} \end{array}\right)
Finalement :
A−1=17(5−3−12)A^{-1} =\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc} {5} & {-3} \\ {-1} & {2} \end{array}\right)

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