Caractériser la divisibilité : les notions fondamentales\red{\text{les notions fondamentales}} - Exercice 2

8 min
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Question 1

Déterminer les diviseurs de 33 et en déduire les entiers relatifs nn tels que 5n−25n-2 divise 33 .

Correction
Les diviseurs de 33 sont D(3)={−3;−1;1;3}D\left(3\right)=\left\{-3; -1; 1;3\right\} .
Comme 5n−25n-2 divise 33 alors 5n−25n-2 doit eˆtre eˊgal aˋ un des diviseurs de\red{\text{doit être égal à un des diviseurs de}} 3\red{3} . Cela nous donne donc :
  • 5n−2=−3⇔5n=−3+2⇔5n=−1⇔n=−155n-2=-3\Leftrightarrow 5n=-3+2\Leftrightarrow 5n=-1\Leftrightarrow n=\frac{-1}{5} or : −15∉Z\frac{-1}{5}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 5n−2=−1⇔5n=−1+2⇔5n=1⇔n=155n-2=-1\Leftrightarrow 5n=-1+2\Leftrightarrow 5n=1\Leftrightarrow n=\frac{1}{5} or : 15∉Z\frac{1}{5}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 5n−2=1⇔5n=1+2⇔5n=3⇔n=355n-2=1\Leftrightarrow 5n=1+2\Leftrightarrow 5n=3\Leftrightarrow n=\frac{3}{5} or : 35∉Z\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 5n−2=3⇔5n=3+2⇔5n=5⇔n=55⇔n=15n-2=3\Leftrightarrow 5n=3+2\Leftrightarrow 5n=5\Leftrightarrow n=\frac{5}{5}\Leftrightarrow {\color{blue}{n=1}}
    • Il n'existe qu'un seul entier relatif tel que 5n−25n-2 divise 33 qui est n=1n=1 .
    Question 2

    Déterminer les diviseurs de 88 et en déduire les entiers relatifs nn tels que 2n−102n-10 divise 88 .

    Correction
    Les diviseurs de 88 sont D(8)={−8;−4;−2;−1;1;2;4;8}D\left(8\right)=\left\{-8;-4;-2; -1; 1;2;4;8\right\} .
    Comme 2n−102n-10 divise 88 alors 2n−102n-10 doit eˆtre eˊgal aˋ un des diviseurs de\red{\text{doit être égal à un des diviseurs de}} 8\red{8} . Cela nous donne donc :
  • 2n−10=−8⇔2n=−8+10⇔2n=2⇔n=22⇔n=12n-10=-8\Leftrightarrow 2n=-8+10\Leftrightarrow 2n=2\Leftrightarrow n=\frac{2}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=1}}
  • 2n−10=−4⇔2n=−4+10⇔2n=6⇔n=62⇔n=32n-10=-4\Leftrightarrow 2n=-4+10\Leftrightarrow 2n=6\Leftrightarrow n=\frac{6}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=3}}
  • 2n−10=−2⇔2n=−2+10⇔2n=8⇔n=82⇔n=42n-10=-2\Leftrightarrow 2n=-2+10\Leftrightarrow 2n=8\Leftrightarrow n=\frac{8}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=4}}
  • 2n−10=−1⇔2n=−1+10⇔2n=9⇔n=922n-10=-1\Leftrightarrow 2n=-1+10\Leftrightarrow 2n=9\Leftrightarrow n=\frac{9}{2} or : 92∉Z\frac{9}{2}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 2n−10=1⇔2n=1+10⇔2n=11⇔n=1122n-10=1\Leftrightarrow 2n=1+10\Leftrightarrow 2n=11\Leftrightarrow n=\frac{11}{2} or : 112∉Z\frac{11}{2}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 2n−10=2⇔2n=2+10⇔2n=12⇔n=122⇔n=62n-10=2\Leftrightarrow 2n=2+10\Leftrightarrow 2n=12\Leftrightarrow n=\frac{12}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=6}}
  • 2n−10=4⇔2n=4+10⇔2n=14⇔n=142⇔n=72n-10=4\Leftrightarrow 2n=4+10\Leftrightarrow 2n=14\Leftrightarrow n=\frac{14}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=7}}
  • 2n−10=8⇔2n=8+10⇔2n=18⇔n=182⇔n=92n-10=8\Leftrightarrow 2n=8+10\Leftrightarrow 2n=18\Leftrightarrow n=\frac{18}{2} \Leftrightarrow {\color{blue}{n=9}}
    • Les entiers relatifs nn tels que 2n−102n-10 divise 88 sont :
    S={1;3;4;6;7;9}S=\left\{1;3;4;6;7;9\right\}
    Question 3

    Déterminer les diviseurs de 66 et en déduire les entiers relatifs nn tels que 8n+248n+24 divise 66 .

    Correction
    Les diviseurs de 66 sont D(3)={−6;−3;−2;−1;1;2;3;6}D\left(3\right)=\left\{-6;-3;-2; -1; 1;2;3;6\right\} .
    Comme 8n+248n+24 divise 66 alors 8n+248n+24 doit eˆtre eˊgal aˋ un des diviseurs de\red{\text{doit être égal à un des diviseurs de}} 6\red{6} . Cela nous donne donc :
  • 8n+24=−6⇔8n=−6−24⇔8n=−30⇔n=−3088n+24=-6\Leftrightarrow 8n=-6-24\Leftrightarrow 8n=-30\Leftrightarrow n=-\frac{30}{8} or : −308∉Z-\frac{30}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=−3⇔8n=−3−24⇔8n=−27⇔n=−2788n+24=-3\Leftrightarrow 8n=-3-24\Leftrightarrow 8n=-27\Leftrightarrow n=-\frac{27}{8} or : −278∉Z-\frac{27}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=−2⇔8n=−2−24⇔8n=−26⇔n=−2688n+24=-2\Leftrightarrow 8n=-2-24\Leftrightarrow 8n=-26\Leftrightarrow n=-\frac{26}{8} or : −268∉Z-\frac{26}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=−1⇔8n=−1−24⇔8n=−25⇔n=−2588n+24=-1\Leftrightarrow 8n=-1-24\Leftrightarrow 8n=-25\Leftrightarrow n=-\frac{25}{8} or : −258∉Z-\frac{25}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=1⇔8n=1−24⇔8n=−23⇔n=−2388n+24=1\Leftrightarrow 8n=1-24\Leftrightarrow 8n=-23\Leftrightarrow n=-\frac{23}{8} or : −238∉Z-\frac{23}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=2⇔8n=2−24⇔8n=−22⇔n=−2288n+24=2\Leftrightarrow 8n=2-24\Leftrightarrow 8n=-22\Leftrightarrow n=-\frac{22}{8} or : −228∉Z-\frac{22}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=3⇔8n=3−24⇔8n=−21⇔n=−2188n+24=3\Leftrightarrow 8n=3-24\Leftrightarrow 8n=-21\Leftrightarrow n=-\frac{21}{8} or : −218∉Z-\frac{21}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
  • 8n+24=6⇔8n=6−24⇔8n=−18⇔n=−1888n+24=6\Leftrightarrow 8n=6-24\Leftrightarrow 8n=-18\Leftrightarrow n=-\frac{18}{8} or : −188∉Z-\frac{18}{8}\notin \mathbb{Z} donc pas de solutions dans Z\mathbb{Z}
    • Il n'existe pas d'entiers relatifs nn tels que 8n+248n+24 divise 66 .

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