Caractériser la divisibilité : $$\red{\text{utiliser une combinaison linéaire}}$$ - Exercice 2

$$n+1$$ divise $$3n-2$$ et $$n+1$$ divise $$n+1$$ alors $$n+1$$ divise toute combinaison linéaire de $$n+1$$ et $$3n-2$$.
Par exemple :
$$n+1$$ divise $$\left(\blue{3}\times \left(n+1\right)+\purple{\left(-1\right)}\times\left(3n-2\right)\right)$$ . Ici, nous avons construit une $$\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}}$$ $$\red{n}$$
$$n+1$$ divise $$\left(3n+3-3n+2\right)$$
$$n+1$$ divise $$5$$
Les diviseurs de $$5$$ dans $$\mathbb{Z}$$ sont : $$\left\{-5; -1; 1;5\right\}$$ que l'on note également : $$D\left(5\right)=\left\{-5; -1; 1;5\right\}$$
On a donc :
$$n+1=-5\Leftrightarrow n=-6$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n+1=-1\Leftrightarrow n=-2$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n+1=1\Leftrightarrow n=0$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n+1=5\Leftrightarrow n=4$$
Les solutions possibles pour $$n$$ sont alors : $$\left\{-6;-2;0;4\right\}$$
Il faut ensuite vérifier que pour ces valeurs de $$n$$ on a : $$n+1$$ divise $$3n-2$$
Si $$n=-6$$ , cela donne $$-5$$ divise $$-20$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=-2$$ , cela donne $$-1$$ divise $$-8$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=0$$ , cela donne $$1$$ divise $$-2$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=4$$ , cela donne $$5$$ divise $$10$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Finalement, les entiers relatifs $$n$$ tels que $$n+1$$ divise $$3n-2$$ sont :

$$n-5$$ divise $$n+1$$ et $$n-5$$ divise $$n-5$$ alors $$n-5$$ divise toute combinaison linéaire de $$n+1$$ et $$n-5$$.
Par exemple :
$$n-5$$ divise $$\left(\blue{1}\times \left(n+1\right)+\purple{\left(-1\right)}\times\left(n-5\right)\right)$$ . Ici, nous avons construit une $$\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}}$$ $$\red{n}$$
$$n-5$$ divise $$\left(n+1-n+5\right)$$
$$n-5$$ divise $$6$$
Les diviseurs de $$6$$ dans $$\mathbb{Z}$$ sont : $$\left\{-6; -3; -2; -1; 1; 2;3; 6\right\}$$ que l'on note également : $$D\left(6\right)=\left\{-6; -3; -2; -1; 1; 2;3; 6\right\}$$
On a donc :
$$n-5=-6\Leftrightarrow n=-1$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-5=-3\Leftrightarrow n=2$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-5=-2\Leftrightarrow n=3$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-5=-1\Leftrightarrow n=4$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-5=1\Leftrightarrow n=6$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-5=2\Leftrightarrow n=7$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-5=3\Leftrightarrow n=8$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$n-5=6\Leftrightarrow n=11$$
Les solutions possibles pour $$n$$ sont alors : $$\left\{-1;2;3;4;6;7;8;11\right\}$$
Il faut ensuite vérifier que pour ces valeurs de $$n$$ on a : $$n-5$$ divise $$n+1$$
Si $$n=-1$$ , cela donne $$-6$$ divise $$0$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=2$$ , cela donne $$-3$$ divise $$3$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=3$$ , cela donne $$-2$$ divise $$4$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=4$$ , cela donne $$-1$$ divise $$5$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=6$$ , cela donne $$1$$ divise $$7$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=7$$ , cela donne $$2$$ divise $$8$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=8$$ , cela donne $$3$$ divise $$9$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=11$$ , cela donne $$6$$ divise $$12$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Finalement, les entiers relatifs $$n$$ tels que $$n-5$$ divise $$n+1$$ sont :

La fraction $$\frac{2n-1}{3n+2}$$ est un entier si et seulement si $$3n+2$$ divise $$2n-1$$.
$$3n+2$$ divise $$2n-1$$ et $$3n+2$$ divise $$3n+2$$ alors $$3n+2$$ divise toute combinaison linéaire de $$2n-1$$ et $$3n+2$$.
Par exemple :
$$3n+2$$ divise $$\left(\blue{3}\times \left(2n-1\right)+\purple{\left(-2\right)}\times\left(3n+2\right)\right)$$ . Ici, nous avons construit une $$\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}}$$ $$\red{n}$$
$$3n+2$$ divise $$\left(6n-3-6n-4\right)$$
$$3n+2$$ divise $$-7$$
Les diviseurs de $$-7$$ dans $$\mathbb{Z}$$ sont : $$\left\{-7; -1; 1; 7\right\}$$ que l'on note également : $$D\left(-7\right)=\left\{-7; -1; 1; 7\right\}$$
On a donc :
$$3n+2=-7\Leftrightarrow 3n=-9\Leftrightarrow n=-3$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$3n+2=-1\Leftrightarrow 3n=-3\Leftrightarrow n=-1$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$3n+2=1\Leftrightarrow 3n=-1\Leftrightarrow n=-\frac{1}{3}$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$3n+2=7\Leftrightarrow 3n=5\Leftrightarrow n=\frac{5}{3}$$
N'oublions pas que $$n$$ est un entier relatif donc les solutions possibles pour $$n$$ sont alors : $$\left\{-3;-1\right\}$$
Il faut ensuite vérifier que pour ces valeurs de $$n$$ on a : $$3n+2$$ divise $$2n-1$$
Si $$n=-3$$ , cela donne $$-7$$ divise $$-7$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=-1$$ , cela donne $$-1$$ divise $$-3$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Finalement, les entiers relatifs $$n$$ tels que $$3n+2$$ divise $$2n-1$$ sont :
Autrement dit, les entiers relatif $$n$$ tels que la fraction $$\frac{2n-1}{3n+2}$$ soit un entier sont les entiers $$n=-3$$ et $$n=-1$$ .

$$2n+5$$ divise $$3n+6$$ et $$2n+5$$ divise $$2n+5$$ alors $$2n+5$$ divise toute combinaison linéaire de $$3n+6$$ et $$2n+5$$.
Par exemple :
$$2n+5$$ divise $$\left(\blue{2}\times \left(3n+6\right)+\purple{\left(-3\right)}\times\left(2n+5\right)\right)$$ . Ici, nous avons construit une $$\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}}$$ $$\red{n}$$
$$2n+5$$ divise $$\left(6n+12-6n-15\right)$$
$$2n+5$$ divise $$-3$$
Les diviseurs de $$-3$$ dans $$\mathbb{Z}$$ sont : $$\left\{-3; -1; 1; 3\right\}$$ que l'on note également : $$D\left(-3\right)=\left\{-3; -1; 1; 3\right\}$$
On a donc :
$$2n+5=-3\Leftrightarrow 2n=-8\Leftrightarrow n=-4$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$2n+5=-1\Leftrightarrow 2n=-6\Leftrightarrow n=-3$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$2n+5=1\Leftrightarrow 2n=-4\Leftrightarrow n=-2$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$2n+5=3\Leftrightarrow 2n=-2\Leftrightarrow n=-1$$
Les solutions possibles pour $$n$$ sont alors : $$\left\{-4;-3;-2;-1\right\}$$
Il faut ensuite vérifier que pour ces valeurs de $$n$$ on a : $$2n+5$$ divise $$3n+6$$
Si $$n=-4$$ , cela donne $$-3$$ divise $$-6$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=-3$$ , cela donne $$-1$$ divise $$-3$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=-2$$ , cela donne $$1$$ divise $$0$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Si $$n=-1$$ , cela donne $$3$$ divise $$3$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Finalement, les entiers relatifs $$n$$ tels que $$2n+5$$ divise $$3n+6$$ sont :

$$5n+8$$ divise $$n+2$$ et $$5n+8$$ divise $$5n+8$$ alors $$5n+8$$ divise toute combinaison linéaire de $$n+2$$ et $$5n+8$$.
Par exemple :
$$5n+8$$ divise $$\left(\blue{5}\times \left(n+2\right)+\purple{\left(-1\right)}\times\left(5n+8\right)\right)$$ . Ici, nous avons construit une $$\red{\text{combinaison linéaire indépendante de}}$$ $$\red{n}$$
$$5n+8$$ divise $$\left(5n+10-5n-8\right)$$
$$5n+8$$ divise $$2$$
Les diviseurs de $$2$$ dans $$\mathbb{Z}$$ sont : $$\left\{-2; -1; 1; 2\right\}$$ que l'on note également : $$D\left(2\right)=\left\{-2; -1; 1; 2\right\}$$
On a donc :
$$5n+8=-2\Leftrightarrow 5n=-10\Leftrightarrow n=-2$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$5n+8=-1\Leftrightarrow 5n=-9\Leftrightarrow n=-\frac{9}{5}$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$5n+8=1\Leftrightarrow 5n=-7\Leftrightarrow n=-\frac{7}{5}$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$5n+8=2\Leftrightarrow 5n=-6\Leftrightarrow n=-\frac{6}{5}$$
N'oublions pas que $$n$$ est un entier relatif donc la solution possible pour $$n$$ est alors : $$\left\{-2\right\}$$
Il faut ensuite vérifier que pour cette valeur de $$n$$ on a : $$5n+8$$ divise $$n+2$$
Si $$n=-2$$ , cela donne $$-2$$ divise $$0$$ $$\green{\text{ce qui est vrai }}$$.
Finalement, l'entier relatif $$n$$ tel que $$5n+8$$ divise $$n+2$$ est :