Congruences - Exercice 2

12 min
25
Question 1
Soient deux entiers xx et yy tels que x≡5[9]x\equiv 5 \left[9\right] et y≡8[9]y\equiv 8 \left[9\right]. Donner le reste de la division euclidienne par 99 de :

2x2x

Correction
La congruence est compatible avec le produit\red{\text{avec le produit}} :
  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
    Alors : a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
    • Nous avons : 2≡2[9]\red{2}\equiv \red{2} \left[9\right] et x≡5[9]\blue{x}\equiv \blue{5} \left[9\right]
    Ainsi :
    2×x≡2×5[9]\red{2}\times\blue{x} \equiv \red{2}\times\blue{5}\left[9\right]
    2x≡10[9]2x \equiv 10\left[9\right]
    Ainsi :
    2x≡1[9]2x \equiv 1\left[9\right]
    car 10=9×1+110=9\times 1+1
    Question 2

    x+yx+y

    Correction
    La congruence est compatible avec l’addition\red{\text{avec l'addition}} :
  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
    Alors : a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
    • Nous avons : x≡5[9]\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right] et y≡8[9]\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
    Ainsi :
    x+y≡5+8[9]\red{x}+\blue{y} \equiv \red{5}+\blue{8}\left[9\right]
    x+y≡13[9]x+y \equiv 13\left[9\right]
    Ainsi :
    x+y≡4[9]x+y \equiv 4\left[9\right]
    car 13=9×1+413=9\times 1+4
    Question 3

    xyxy

    Correction
    La congruence est compatible avec le produit\red{\text{avec le produit}} :
  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
    Alors : a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
    • Nous avons : x≡5[9]\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right] et y≡8[9]\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
    Ainsi :
    x×y≡5×8[9]\red{x}\times\blue{y} \equiv \red{5}\times\blue{8}\left[9\right]
    x×y≡40[9]x\times y \equiv 40\left[9\right]
    Ainsi :
    x×y≡4[9]x\times y \equiv 4\left[9\right]
    car 40=9×4+440=9\times 4+4
    Question 4

    y2y^{2}

    Correction
  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa et bb des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] .
    Pour tout k∈N\blue{k}\in \mathbb{N} on a : ak≡bk[m]\red{a}^{\blue{k}} \equiv \red{b}^{\blue{k}}\left[m\right]
    • Nous avons : y≡8[9]\red{y}\equiv \red{8} \left[9\right]
    Ainsi :
    y2≡82[9]\red{y}^{\blue{2}} \equiv \red{8}^{\blue{2}}\left[9\right]
    y2≡64[9]y^{2} \equiv 64\left[9\right]
    Ainsi :
    y2≡1[9]y^{2} \equiv 1\left[9\right]
    car 64=9×7+164=9\times 7+1
    Question 5

    x2−yx^{2}-y

    Correction
  • Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa et bb des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] .
    Pour tout k∈N\blue{k}\in \mathbb{N} on a : ak≡bk[m]\red{a}^{\blue{k}} \equiv \red{b}^{\blue{k}}\left[m\right]
    • Nous avons : x≡5[9]\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right] et y≡8[9]\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
    Ainsi :
    x2≡52[9]\red{x}^{\blue{2}} \equiv \red{5}^{\blue{2}}\left[9\right]
    x2≡25[9]x^{2} \equiv 25\left[9\right]
    Ainsi :
    x2≡7[9]x^{2} \equiv 7\left[9\right]
    car 25=9×2+725=9\times 2+7
    Finalement :
    x2−y≡(7−8)[9]x^{2} -y\equiv \left(7-8\right)\left[9\right]
    x2−y≡(−1)[9]x^{2} -y\equiv \left(-1\right)\left[9\right] que l'on peut aussi écrire x2−y≡8[9]x^{2} -y\equiv 8\left[9\right]
    Question 6
    Soient deux entiers xx et yy tels que x≡5[9]x\equiv 5 \left[9\right] et y≡8[9]y\equiv 8 \left[9\right]. Donner le reste de la division euclidienne par 99 de :

    2x+102x+10

    Correction
    Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
    • Nous avons : x≡5[9]\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right] et y≡8[9]\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
    Ainsi :
    2x≡(2×5)[9]2\red{x} \equiv \left(2\times\red{5}\right)\left[9\right]
    2x≡10[9]2x \equiv 10\left[9\right]
    2x+10≡(10+10)[9]2x +10\equiv \left(10+10\right)\left[9\right]
    2x+10≡20[9]2x +10\equiv 20\left[9\right]
    Ainsi :
    2x+10≡2[9]2x+10 \equiv 2\left[9\right]
    car 20=9×2+220=9\times 2+2
    Question 7

    3x+2y3x+2y

    Correction
    Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • a×c≡b×d[m]\red{a}\times\blue{c} \equiv \red{b}\times\blue{d}\left[m\right]
    • Nous avons : x≡5[9]\red{x}\equiv \red{5} \left[9\right] et y≡8[9]\blue{y}\equiv \blue{8} \left[9\right]
    D’une part :\blue{\text{D'une part :}}
    3x≡(3×5)[9]3\red{x} \equiv \left(3\times\red{5}\right)\left[9\right]
    3x≡15[9]3x \equiv 15\left[9\right]
    Ainsi :
    3x≡6[9]3x \equiv 6\left[9\right]
    car 15=9×1+615=9\times 1+6
    D’autre part :\blue{\text{D'autre part :}}
    2y≡(2×8)[9]2\blue{y} \equiv \left(2\times\blue{8}\right)\left[9\right]
    2y≡16[9]2y \equiv 16\left[9\right]
    Ainsi :
    2y≡7[9]2y \equiv 7\left[9\right]
    car 16=9×1+716=9\times 1+7
    Enfin :\blue{\text{Enfin :}}
    3x+2y≡(6+7)[9]3x+2y \equiv \left(6+7\right)\left[9\right]
    3x+2y≡13[9]3x+2y \equiv 13\left[9\right]
    Ainsi :
    3x+2y≡4[9]3x+2y \equiv 4\left[9\right]
    car 13=9×1+413=9\times 1+4
    Question 8

    y2−1y^{2}-1

    Correction
    Soient mm un entier naturel (m>2)\left(m > 2\right), aa,bb,cc et dd des entiers relatifs vérifiant : a≡b[m]\red{a} \equiv \red{b}\left[m\right] et c≡d[m]\blue{c} \equiv \blue{d}\left[m\right].
  • a+c≡b+d[m]\red{a}+\blue{c} \equiv \red{b}+\blue{d}\left[m\right]
  • Pour tout k∈N\blue{k}\in \mathbb{N} on a : ak≡bk[m]\red{a}^{\blue{k}} \equiv \red{b}^{\blue{k}}\left[m\right]
    • Nous avons : y≡8[9]\red{y}\equiv \red{8} \left[9\right]
    Ainsi :
    y2≡82[9]\red{y}^{\blue{2}} \equiv \red{8}^{\blue{2}}\left[9\right]
    y2≡64[9]y^{2} \equiv 64\left[9\right]
    D'où :
    y2≡1[9]y^{2} \equiv 1\left[9\right]
    car 64=9×7+164=9\times 7+1
    Il vient alors que :
    y2−1≡(1−1)[9]y^{2}-1 \equiv \left(1-1\right)\left[9\right]
    Finalement :
    y2−1≡0[9]y^{2}-1 \equiv 0\left[9\right]

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.