Résoudre les équations de la forme $$z^{n}-a^{n}$$ - Exercice 1

On remarque que $$z^{3} -8=z^{3} -2^{3}$$.
Nous voulons donc factoriser $$z^{3} -2^{3}$$ par $$z-2$$ .
$$z^{3} -2^{3}$$ est un polynôme de degré $$3$$ et . On peut alors écrire que :
$$z^{3} -2^{3}=\left(z-2\right)Q\left(z\right)$$ où $$Q$$ est un polynôme $$\blue{\text{de degré au plus }}$$ $$\blue{3-1}$$
$$z^{3} -2^{3}=\left(z-2\right)Q\left(z\right)$$ où $$Q\left(z\right)=az^{2}+bz+c$$
Ainsi :
$$z^{3} -2^{3}=\left(z-2\right)\left(az^{2}+bz+c\right)$$
$$z^{3} -2^{3} =az^{3} +bz^{2} +cz-2az^{2} -2bz-2c$$
$$z^{3} -2^{3} =az^{3} +\left(b-2a\right)z^{2} +\left(c-2b\right)z-2c$$
Il faut que :
$$z^{3} {\color{red}-2^{3}}=z^{3} +\left(b-2a\right)z^{2} +\left(c-2b\right){\color{red}-2c}$$
Par identification, on obtient le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {c-2b} & {=} & {0} \\ {-2c} & {=} & {-2^{3} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {c-2b} & {=} & {0} \\ {-2c} & {=} & {-8} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {c-2b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {\frac{-8}{-2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {c-2b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {4-2b} & {=} & {0} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {-2b} & {=} & {-4} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {\frac{-4}{-2} } \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {b-2a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {2-2a} & {=} & {0} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {-2a} & {=} & {-2} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {\frac{-2}{-2} } \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {a} & {=} & {1} \\ {b} & {=} & {2} \\ {c} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
Finalement, la forme factorisée de $$z^{3} -8$$ est : $$\left(z-2\right)\left(z^{2}+2z+4\right)$$

$$z^{3} -8=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(z-2\right)\left(z^{2}+2z+4\right)=0$$ Il s'agit d'une équation produit nul.
$$\red{\text{Calculons d'une part :}}$$ $$z-2=0\Leftrightarrow z=2$$
$$\red{\text{Calculons d'autre part :}}$$ $$z^{2}+2z+4=0$$
On utilise ici le discriminant $$\Delta =2^{2} -4\times 1\times 4=-12$$
$$z_{1} =\frac{-b-i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-2-i\sqrt{12} }{2} =-1-i\sqrt{3}$$
$$z_{2} =\frac{-b+i\sqrt{-\Delta } }{2a} =\frac{-2+i\sqrt{12} }{2} =-1+i\sqrt{3}$$
Les solutions de l’équation $$\left(E\right)$$ dans $$\mathbb{C}$$ sont $$S=\left\{-1-i\sqrt{3};-1+i\sqrt{3};2\right\}$$