Equation faisant intervenir zz et z‾\overline{z} - Exercice 1

12 min
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Résoudre dans C\mathbb{C} les équations ci-dessous. Les solutions doivent être données sous forme algébrique.
Question 1

2z‾=−4+3i2\overline{z}=-4+3i

Correction
2z‾=−4+3i2\overline{z}=-4+3i équivaut successivement à :
z‾=−2+32i\overline{z}=-2+\frac{3}{2} i
  • z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
    • z‾‾=(−2+32i)‾\overline{\overline{z}} =\overline{\left(-2+\frac{3}{2} i\right)}
    Ainsi : z=−2−32iz=-2-\frac{3}{2} i
    Donc : S={−2−32i}S=\left\{-2-\frac{3}{2} i\right\}
    Question 2

    3z‾=6z‾+2i3\overline{z}=6\overline{z}+2i

    Correction
    3z‾=6z‾+2i3\overline{z}=6\overline{z}+2i équivaut successivement à :
    3z‾−6z‾=2i3\overline{z}-6\overline{z}=2i
    −3z‾=2i-3\overline{z}=2i
    z‾=2i−3\overline{z}=\frac{2i}{-3}
    z‾=−23i\overline{z}=-\frac{2}{3} i
  • z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
    • z‾‾=(−23i)‾\overline{\overline{z}} =\overline{\left(-\frac{2}{3} i\right)}
    Ainsi : z=23iz=\frac{2}{3} i
    Donc : S={23i}S=\left\{\frac{2}{3} i\right\}
    Question 3

    4z‾=30−z‾4\overline{z}=30-\overline{z}

    Correction
    4z‾=30−z‾4\overline{z}=30-\overline{z}
    4z‾+z‾=304\overline{z}+\overline{z}=30
    5z‾=305\overline{z}=30
    z‾=305\overline{z}=\frac{30}{5}
    z‾=6\overline{z}=6
  • z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
    • z‾‾=6‾\overline{\overline{z}} =\overline{6}
    Ainsi : z=6z=6
    Donc : S={6}S=\left\{6\right\}
    Question 4

    (z‾+2−i)(2z−4i+7)=0\left(\overline{z}+2-i\right)\left(2z-4i+7\right)=0

    Correction
    (z‾+2−i)(2z−4i+7)=0\left(\overline{z}+2-i\right)\left(2z-4i+7\right)=0 équivaut successivement à :
    z‾+2−i=0\overline{z}+2-i=0 ou 2z−4i+7=02z-4i+7=0
    D’une part :\blue{\text{D'une part :}}
    z‾+2−i=0\overline{z}+2-i=0 équivaut successivement à
    z‾=−2+i\overline{z}=-2+i
  • z‾‾=z\overline{\overline{z}}=z
    • z‾‾=(−2+i)‾\overline{\overline{z}} =\overline{\left(-2+i\right)}
    z=−2−iz=-2-i
    D’autre part :\blue{\text{D'autre part :}}
    2z−4i+7=02z-4i+7=0 équivaut successivement à
    2z=4i−72z=4i-7
    z=2i−72z=2i-\frac{7}{2}
    Donc les solutions sont alors S={2i−72;−2−i}S=\left\{2i-\frac{7}{2} ;-2-i\right\}

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