Exercices types $$1$$^ère partie : Ensemble de points à l'aide de la partie réelle ou imaginaire d'un nombre complexe - Exercice 3

$$Z=\frac{x+iy-2i}{x+iy-1-i}$$ équivaut successivement à :
$$Z=\frac{x+iy-2i}{x-1+i\left(y-1\right)}$$
$$Z=\frac{\left(x+iy-2i\right)\left[x-1-i\left(y-1\right)\right]}{\left[x-1+i\left(y-1\right)\right]\left[x-1-i\left(y-1\right)\right]}$$
$$Z=\frac{\left(x+iy-2i\right)\left[x-1-iy+i\right]}{\left[x-1+i\left(y-1\right)\right]\left[x-1-i\left(y-1\right)\right]}$$
$$Z=\frac{x^{2} -x-iyx+ix+iyx-iy-i^{2} y^{2} +i^{2} y-2ix+2i+2i^{2} y-2i^{2} }{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} -x-iyx+ix+iyx-iy+y^{2} -y-2ix+2i-2y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} -x-ix-iy+y^{2} -3y+2i+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$$
$$Z=\frac{x^{2} +y^{2} -x-3y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }+i\frac{-x-y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$$
La partie réelle de $$Z$$, notée $$\text{Re}\left(Z\right)$$, est : $$\text{Re}\left(Z\right)=\frac{x^{2} +y^{2} -x-3y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$$
La partie imaginaire de $$Z$$, notée $$\text{Im}\left(Z\right)$$, est : $$\text{Im}\left(Z\right)=\frac{-x-y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} }$$

$$\text{Im}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{-x-y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} } =0$$
$$-x-y+2=0{\text{ et }}z\ne 1+i$$ (on indique $$z\ne 1+i$$ car c'est la valeur interdite de $$Z$$)
$$y=-x+2{\text{ et }}z\ne 1+i$$
L'ensemble $$\left(E\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un réel est la droite d'équation $$y=-x+2$$ privé du point d'affixe $$1+i$$.

$$\text{Re}\left(Z\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{x^{2} +y^{2} -x-3y+2}{\left(x-1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} } =0$$
$$x^{2} +y^{2} -x-3y+2=0{\text{ et }}z\ne 1+i$$ (on indique $$z\ne 1+i$$ car c'est la valeur interdite de $$Z$$)
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +2=0{\text{ et }}z\ne 1+i$$
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y-\frac{3}{2} \right)^{2} =\frac{1}{2} {\text{ et }}z\ne 1+i$$
$$\left(x-\frac{1}{2} \right)^{{\text 2}} +\left(y-\frac{3}{2} \right)^{2} =\sqrt{\frac{1}{2} } {\text{ et }}z\ne 1+i$$
L'ensemble $$\left(F\right)$$ des points $$M$$ d'affixe $$z$$ tels que $$Z$$ soit un imaginaire pur est le cercle de centre $$\Omega \left(\frac{1}{2} ;\frac{3}{2} \right)$$ et de rayon $$\sqrt{\frac{1}{2} }$$ privé du point d'affixe $$1+i$$.