Ensemble U\mathbb{U} des complexes de module 11 - Exercice 1

6 min
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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Les nombres complexes suivants appartiennent-ils à l'ensemble U\mathbb{U} ?
Question 1

z1=12−i32z_{1} =\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2}

Correction
  • On note U\mathbb{U} l'ensemble des nombres complexes zz tels que ∣z∣=1\left|z\right|=1 . Dans le plan complexe, U\mathbb{U} est représenté par le cercle de centre OO et de rayon 11.
    • ∣z1∣=(12)2+(−32)2\left|z_{1} \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(-\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^{2} }
    ∣z1∣=14+34\left|z_{1} \right|=\sqrt{\frac{1}{4} +\frac{3}{4} }
    Ainsi :
    ∣z1∣=1\left|z_{1} \right|=1

    Finalement z1∈Uz_{1} \in \mathbb{U} .
    Question 2

    z2=64−i522z_{2} =\frac{\sqrt{6} }{4} -i\frac{\sqrt{5} }{2\sqrt{2} }

    Correction
  • On note U\mathbb{U} l'ensemble des nombres complexes zz tels que ∣z∣=1\left|z\right|=1 . Dans le plan complexe, U\mathbb{U} est représenté par le cercle de centre OO et de rayon 11.
    • ∣z2∣=(64)2+(522)2\left|z_{2} \right|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6} }{4} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{5} }{2\sqrt{2} } \right)^{2} }
    ∣z2∣=38+58\left|z_{2} \right|=\sqrt{\frac{3}{8} +\frac{5}{8} }
    Ainsi :
    ∣z2∣=1\left|z_{2} \right|=1

    Finalement z2∈Uz_{2} \in \mathbb{U} .
    Question 3

    z3=13+i63z_{3} =\frac{1}{\sqrt{3} } +i\frac{\sqrt{6} }{3}

    Correction
  • On note U\mathbb{U} l'ensemble des nombres complexes zz tels que ∣z∣=1\left|z\right|=1 . Dans le plan complexe, U\mathbb{U} est représenté par le cercle de centre OO et de rayon 11.
    • ∣z3∣=(13)2+(63)2\left|z_{3} \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{3} } \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{6} }{3} \right)^{2} }
    ∣z3∣=13+23\left|z_{3} \right|=\sqrt{\frac{1}{3} +\frac{2}{3} }
    Ainsi :
    ∣z3∣=1\left|z_{3} \right|=1

    Finalement z3∈Uz_{3} \in \mathbb{U} .
    Question 4

    z4=15+i52z_{4} =\frac{1}{5} +i\frac{\sqrt{5} }{2}

    Correction
  • On note U\mathbb{U} l'ensemble des nombres complexes zz tels que ∣z∣=1\left|z\right|=1 . Dans le plan complexe, U\mathbb{U} est représenté par le cercle de centre OO et de rayon 11.
    • ∣z4∣=(15)2+(52)2\left|z_{4} \right|=\sqrt{\left(\frac{1}{5} \right)^{2} +\left(\frac{\sqrt{5} }{2} \right)^{2} }
    ∣z4∣=125+54\left|z_{4} \right|=\sqrt{\frac{1}{25} +\frac{5}{4} }
    Ainsi :
    ∣z4∣=129100\left|z_{4} \right|=\sqrt{\frac{129}{100} }

    Finalement z4∉Uz_{4} \notin \mathbb{U} .

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