Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

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COMPETENCES‾  :  Calculer{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}
Question 1
Soit le point AA ayant pour affixe zA=6−4iz_{A}=6-4i . Soit ff la transformation du plan qui a tout point MM d'affixe z≠−5z\ne -5, associe le point M′M' d'affixe : z′=2z−1z−5z'=\frac{2z-1}{z-5} .
Soit A′A' l'image de AA par ff.

Déterminer l'affixe de A′A' sous sa forme algébrique.

Correction
zA′=2zA−1zA−5z_{A}^{'} =\frac{2z_{A} -1}{z_{A} -5}
zA′=2(6−4i)−16−4i−5z_{A}^{'} =\frac{2\left(6-4i\right)-1}{6-4i-5}
zA′=12−8i−11−4iz_{A}^{'} =\frac{12-8i-1}{1-4i}
zA′=11−8i1−4iz_{A}^{'} =\frac{11-8i}{1-4i}
zA′=(11−8i)(1+4i)(1−4i)(1+4i)z_{A}^{'} =\frac{\left(11-8i\right)\left(1+4i\right)}{\left(1-4i\right)\left(1+4i\right)}
zA′=11+44i−8i−32i212+42z_{A}^{'} =\frac{11+44i-8i-32i^{2} }{1^{2} +4^{2} }
zA′=11+44i−8i+3217z_{A}^{'} =\frac{11+44i-8i+32}{17}
zA′=43+36i17z_{A}^{'} =\frac{43+36i}{17}
zA′=4317+36i17z_{A}^{'} =\frac{43}{17} +\frac{36i}{17}

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