Résoudre : ∣z−zA∣=R{\color{blue}{\left|z-z_{A} \right|=R }} et ∣z−zA∣=∣z−zB∣{\color{red}{\left|z-z_{A} \right|=\left|z-z_{B} \right| }} Ensembles de points : Cercle ou médiatrice - Exercice 1

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COMPETENCES‾  :  Repreˊsenter{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Représenter}
Question 1
Dans chacun des cas suivants, déterminez l'ensemble des points MM du plan complexe dont l'affixe zz vérifie la condition donnée.
Regardez la vidéo Cercle et Médiatrice pour vous aider.

∣z−4∣=2\left|z-4\right|=2

Correction
Soit MM le point d'affixe zz.
On pose zA=4z_{A} =4 ainsi ∣z−zA∣=2\left|z-z_{A} \right|=2
Il en résulte que AM=2AM=2
L'ensemble des points MM du plan tel que ∣z−4∣=2\left|z-4\right|=2 est le cercle de centre AA et de rayon 22.
Question 2

∣z+i−2∣=5\left|z+i-2\right|=5

Correction
Soit MM le point d'affixe zz.
On pose zA=−i+2z_{A} =-i+2 ainsi ∣z−zA∣=5\left|z-z_{A} \right|=5
Il en résulte que AM=5AM=5
L'ensemble des points MM du plan tel que ∣z+i−2∣=5\left|z+i-2\right|=5 est le cercle de centre AA et de rayon 55.
Question 3

∣z+2−5i∣=∣1+3i∣\left|z+2-5i\right|=\left|1+3i\right|

Correction
Nous allons commencer par calculer le module de 1+3i1+3i.
∣1+3i∣=12+32⇔∣1+3i∣=10\left|1+3i\right|=\sqrt{1^{2} +3^{2} } \Leftrightarrow \left|1+3i\right|=\sqrt{10}
Ainsi :
∣z+2−5i∣=10\left|z+2-5i\right|=\sqrt{10}
∣z−(−2+5i)∣=10\left|z-\left(-2+5i\right)\right|=\sqrt{10}
On pose zA=−2+5iz_{A} =-2+5i ainsi ∣z−zA∣=10\left|z-z_{A} \right|=\sqrt{10}
Il en résulte que AM=10AM=\sqrt{10}
L'ensemble des points MM du plan tel que ∣z+2−5i∣=∣1+3i∣\left|z+2-5i\right|=\left|1+3i\right| est le cercle de centre AA et de rayon 10\sqrt{10}.
Question 4

∣z−i∣=∣z+4∣\left|z-i\right|=\left|z+4\right|

Correction
Soit MM le point d'affixe zz.
On pose zA=iz_{A} =i et zB=−4z_{B} =-4 ainsi ∣z−zA∣=∣z−zB∣\left|z-z_{A} \right|=\left|z-z_{B} \right|
Il en résulte que AM=BMAM=BM
L'ensemble des points MM du plan tel que ∣z−i∣=∣z+4∣\left|z-i\right|=\left|z+4\right| est la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right]
Question 5

∣z+1−2i∣=∣z+3+2i∣\left|z+1-2i\right|=\left|z+3+2i\right|

Correction
Soit MM le point d'affixe zz.
On pose zA=−1+2iz_{A} =-1+2i et zB=−3−2iz_{B} =-3-2i ainsi ∣z−zA∣=∣z−zB∣\left|z-z_{A} \right|=\left|z-z_{B} \right|
Il en résulte que AM=BMAM=BM
L'ensemble des points MM du plan tel que ∣z+1−2i∣=∣z+3+2i∣\left|z+1-2i\right|=\left|z+3+2i\right| est la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right]
Question 6

∣z−2+i∣=∣z‾+1+4i∣\left|z-2+i\right|=\left|\overline{z}+1+4i\right|

Correction
Soit MM le point d'affixe zz.
  • ∣z‾∣=∣z∣\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|
∣z−2+i∣=∣z‾+1+4i∣\left|z-2+i\right|=\left|\overline{z}+1+4i\right| équivaut successivement à :
∣z−2+i∣=∣z‾+1+4i‾∣\left|z-2+i\right|=\left|\overline{\overline{z}+1+4i}\right|
∣z−2+i∣=∣z+1−4i∣\left|z-2+i\right|=\left|z+1-4i\right|
On pose zA=2−iz_{A} =2-i et zB=−1+4iz_{B} =-1+4i ainsi ∣z−zA∣=∣z−zB∣\left|z-z_{A} \right|=\left|z-z_{B} \right|
Il en résulte que AM=BMAM=BM
L'ensemble des points MM du plan tel que ∣z−i∣=∣z+4∣\left|z-i\right|=\left|z+4\right| est la médiatrice du segment [AB]\left[AB\right].

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