Savoir résoudre une équation diophantienne - Exercice 3

Cette question est juste une formalité, il nous faut remplacer $$x$$ par $$1$$ et $$y$$ par $$2$$ et vérifier que l'on obtient bien $$1$$.
Ainsi :
$$12\times1+7\times\left(-1\right)=12-7=\red{5}$$
Il en résulte que le couple $$\left(1 ; -1\right)$$ est bien une solution de l’équation $$12x+7y=5$$

$$\text{\blue{D'une part :}}$$ nous savons que $$\red{12x+7y=5}$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$ nous avons démontré à la question $$1$$ que : $$\purple{12\times1+7\times\left(-1\right)=5}$$
Nous allons maintenant soustraire ces deux égalités, cela nous donne :
$$\red{12x+7y}-\left(\purple{12\times1+7\times\left(-1\right)}\right)=\red{5}-\purple{5}$$
$$12x+7y-12\times 1-7\times\left(-1\right)=0$$
$$12x+7y-12\times 1+7\times1=0$$
$$12x-12\times 1=-7\times 1-7y$$
$$\pink{12\left(x-1\right)=7\left(-1-y\right)}$$
Donc $$12$$ divise $$7\left(-1-y\right)$$. Or on sait que $$12$$ et $$7$$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $$12$$ divise $$\left(-1-y\right)$$. On peut donc dire que $$-1-y=12k$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$ et donc que $$\green{y =-1-12k}$$
En remplaçant l'expression $$\green{y =-1-12k}$$ dans l'équation $$\pink{12\left(x-1\right)=7\left(-1-y\right)}$$ , il vient :
$$12\left(x-1\right)=7\left(-1-\left(\green{-1-12k}\right)\right)$$
$$12\left(x-1\right)=7\left(-1+1+12k\right)$$
$$12\left(x-1\right)=7\times 12k$$ . On simplifier par $$12$$, ce qui nous donne :
$$x-1= 7k$$
Ainsi : $$\orange{x=7k+1}$$
Nous venons de trouver le couple $$\left(x;y\right)=\left(\orange{7k+1};\green{-1-12k}\right)$$ et il faut vérifier si ce couple vérifie l'équation $$\left(E\right)$$ .
Ainsi :
$$12x+7y=12\left(\orange{7k+1}\right)+7\left(\green{-1-12k}\right)$$
$$12x+7y=12\times 7k+12\times 1+7\times \left(-1\right)+7\times \left(-12k\right)$$
$$12x+7y=12\times 1+7\times \left(-1\right)$$
$$12x+7y=12-7$$
$$12x+7y=5$$
On peut donc conclure que toutes les solutions de l'équation $$\left(E\right)$$ sont : $$S=\left\{\left(7k+1;-1-12k\right)\right\}$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$