Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Équations différentielles - Enseignement de spécialité

Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=4y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=4

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{4x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{4x}

où

k

est une constante réelle.

Question 2

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-2y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=-2

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-2x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-2x}

où

k

est une constante réelle.

Question 3

Résoudre l'équation différentielle suivante : $3y'-7y=0$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

3y'-7y=0

équivaut successivement à :

3y'=7y

y'=\frac{7}{3}y

On identifie ici que :

a=\frac{7}{3}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{\frac{7}{3}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{\frac{7}{3}x}

où

k

est une constante réelle.

Question 4

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=9y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=9

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{9x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{9x}

où

k

est une constante réelle.

Question 5

Résoudre l'équation différentielle suivante : $2y'+9y=0$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme

y'=ay

. Ainsi:

2y'+9y=0

équivaut successivement à :

2y'=-9y

y'=\frac{-9}{2}y

y'=-\frac{9}{2}y

On identifie ici que :

a=-\frac{9}{2}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{9}{2}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{-\frac{9}{2}x}

où

k

est une constante réelle.

Question 6

Résoudre l'équation différentielle suivante : $\frac{dy}{dt} -15y=0$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

Nous rappelons que

\frac{dy}{dt}

peut également s'écrire

y'

. Ainsi :

y'-15y=0

équivaut successivement à :

y'=15y

On identifie ici que :

a=15

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{15x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{15x}

où

k

est une constante réelle.

Question 7

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=10^{11}y$

Correction

Soit l’équation différentielle

y'=ay

où

a

est un réel avec

a\ne 0

, et où

y

est une fonction de la variable

x

définie et dérivable sur

\mathbb{R}

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :

f\left(x\right)=ke^{ax}

où

k

est une constante réelle.

On identifie ici que :

a=10^{11}

.
Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors :

f\left(x\right)=ke^{10^{11}x}

où

k

est une constante réelle.
Finalement :

f\left(x\right)=ke^{10^{11}x}

où

k

est une constante réelle.

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ayy′=ay - Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=4yy'=4yy′=4y

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−2yy'=-2yy′=−2y

Résoudre l'équation différentielle suivante : 3y′−7y=03y'-7y=03y′−7y=0

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=9yy'=9yy′=9y

Résoudre l'équation différentielle suivante : 2y′+9y=02y'+9y=02y′+9y=0

Résoudre l'équation différentielle suivante : dydt−15y=0\frac{dy}{dt} -15y=0dtdy​−15y=0

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=1011yy'=10^{11}yy′=1011y

Savoir résoudre une équation différentielle de la forme $y'=ay$ - Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=4y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=-2y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $3y'-7y=0$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=9y$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $2y'+9y=0$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $\frac{dy}{dt} -15y=0$

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y'=10^{11}y$