Savoir résoudre une équation différentielle de la forme y′=ayy'=ay - Exercice 3

6 min
10
Question 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−23yy'=-23y

Correction

Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=−23a=-23 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−23xf\left(x\right)=ke^{-23x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−23xf\left(x\right)=ke^{-23x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 2

    Résoudre l'équation différentielle suivante : −6y′+11y=0-6y'+11y=0

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • Nous allons transformer l'écriture afin de revenir à une forme y′=ayy'=ay. Ainsi:
    −6y′+11y=0-6y'+11y=0 équivaut successivement à :
    −6y′=−11y-6y'=-11y
    y′=−11−6yy'=\frac{-11}{-6}y
    y′=116yy'=\frac{11}{6}y
    On identifie ici que : a=116a=\frac{11}{6} .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke116xf\left(x\right)=ke^{\frac{11}{6}x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke116xf\left(x\right)=ke^{\frac{11}{6}x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 3

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=17yy'=17y

    Correction

    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=17a=17 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke18xf\left(x\right)=ke^{18x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke17xf\left(x\right)=ke^{17x}
    où kk est une constante réelle.
    Question 4

    Résoudre l'équation différentielle suivante : y′=−35yy'=-35y

    Correction
    Soit l’équation différentielle y′=ayy'=ay où aa est un réel avec a≠0a\ne 0, et où yy est une fonction de la variable xx définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme : f(x)=keaxf\left(x\right)=ke^{ax} où kk est une constante réelle.
    • On identifie ici que : a=−35a=-35 .
    Il en résulte que les solutions de l'équation sont alors : f(x)=ke−35xf\left(x\right)=ke^{-35x} où kk est une constante réelle.
    Finalement :
    f(x)=ke−35xf\left(x\right)=ke^{-35x}
    où kk est une constante réelle.

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.